固有写像
数学において、位相空間の間のある函数が固有写像（こゆうしゃぞう、英: proper map）であるとは、コンパクト部分集合に対するその逆像がコンパクトであることをいう。代数幾何学において、類似の概念は固有射と呼ばれる。
なお、「固有」はproperの直訳であるが、properには「適切な」「妥当な」「ちゃんとした」といった意味もあり[1][2]、proper embeddingを「適切な埋め込み」と訳す例もある[3]。
定義
二つの位相空間の間の函数 f : X → Y が固有（proper）であるとは、Y 内のすべてのコンパクト集合の原像が X においてコンパクトであることをいう。
この他にもいくつかの異なる定義がある。例えば、連続写像 f が固有であるとは、それが閉写像であり、Y 内のすべての点の原像がコンパクトであることをいう。Y が局所コンパクトかつハウスドルフであるなら、それらの定義は同値となる。この事実の証明についてはこの節の最後を参照されたい。より抽象的に、f が固有であるとは f が普遍的に閉（universally closed）であること、すなわち任意の位相空間 Z に対して、写像
- f × idZ: X × Z → Y × Z
が閉であることをいう。これらの定義は、X がハウスドルフであり、Y が局所コンパクトハウスドルフであるときには一致する。
X と Y が距離空間であるときの、より直感的な定義は次のものである：ある位相空間 X の無限点列 {pi} が無限大に逃げる（escapses to infinity）とは、すべてのコンパクト集合 S ⊂ X に対して高々有限個の点 pi のみが S に含まれることをいう。連続写像 f : X → Y が固有であるとは、X において無限大に逃げるすべての点列 {pi} に対して、{f(pi)} が Y において無限大に逃げることをいう。
この最後の点列のアイデアは、列固有（sequentially proper）の概念と関連するように思われる。この点については参考文献を見られたい。
証明
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