広義の記数法

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広義の記数法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/21 14:02 UTC 版)

この項では基本的な位取り記数法を除く、負の数や虚数を含む記数法等について述べる。 ここでは仮数とは、その位に記された数のこと^[要出典]とし、 底（てい）とは、その位の一つ上の位の値が持つ、その位に対する重みの倍率とする。

標準的な記数法

この節では、底が一定で冗長でない記数法について説明する。

書き方は位取り記数法と同じく、底が K であれば、数

${\displaystyle \cdots +c_{2}K^{2}+c_{1}K^{1}+c_{0}K^{0}+c_{-1}K^{-1}+c_{-2}K^{-2}+\cdots }$

底が -1+i で 0, 1 を仮数に持つ記数法により 0.XXX... の形で表記できる範囲。ツインドラゴン曲線と酷似する。

商は K進法で c_nc_n-1…c₀ となり、 余りは r_-1 となる。 ただし記数法によっては、 0.XXX... の形で表記できる範囲がフラクタルを描くため Q_K が作れなくなり、除算が不可能となる。 またこの操作をさらに続けると、循環小数が商として得られる。

Q(r, d) の例を次に示す。

• 十進法

d≦0 または r＜0 または 10d≦r は禁止で、
0≦r＜d ならば Q(r, d)=0
d≦r＜2d ならば Q(r, d)=1
2d≦r＜3d ならば Q(r, d)=2
......
8d≦r＜9d ならば Q(r, d)=8
9d≦r＜10d ならば Q(r, d)=9 となる。

• 底が -2 で仮数に 0, 1 を持つ記数法

d=0 または (r＜-2d/3 かつ r＜4d/3) または (-2d/3＜r かつ 4d/3＜r) は禁止で、
d/3＜r≦4d/3 または 4d/3≦r＜d/3 ならば Q(r, d)=1
-2d/3≦r≦d/3 または d/3≦r≦-2d/3 ならば Q(r, d)=0 となる。

• 平衡三進法

d=0 または (r＜-3d/2 かつ r＜3d/2) または (-3d/2＜r かつ 3d/2＜r) は禁止で、
d/2＜r≦3d/2 または 3d/2≦r＜d/2 ならば Q(r, d)=1
-d/2≦r≦d/2 または d/2≦r≦-d/2 ならば Q(r, d)=0
-3d/2≦r＜-d/2 または -d/2＜r≦-3d/2 ならば Q(r, d)=-1 となる。

記法の変換方法

標準的な記数法に対しての、数の表記法を変換する方法を説明する。

十進法からの変換（整数部分）

余りが仮数に含まれるように底で割っていく方法がある。この方法では下位の仮数から求まる。

例えば十進法で表記された数3620を平衡三進法に変換すると、

3620 ÷ 3 = 1207 . . . -1
1207 ÷ 3 =  402 . . .  1
 402 ÷ 3 =  134 . . .  0
 134 ÷ 3 =   45 . . . -1
  45 ÷ 3 =   15 . . .  0
  15 ÷ 3 =    5 . . .  0
   5 ÷ 3 =    2 . . . -1
   2 ÷ 3 =    1 . . . -1
   1 ÷ 3 =    0 . . .  1

から平衡三進法では 1${\displaystyle {\bar {1}}}$${\displaystyle {\bar {1}}}$00${\displaystyle {\bar {1}}}$01${\displaystyle {\bar {1}}}$ と表記できる。

また、基本的には複素数を表記する記数法ではこの変換は難しいが、 底が -1+i で仮数に 0, 1 を持つ記数法では、比較的簡単に計算できる。 ある複素数 x+yi に対して (x, y は整数) 、

(x + yi) ÷ (-1 + i) = p + qi . . . c

となる整数 p, q と仮数 c を求める。この式を変形すると、

${\displaystyle {\frac {-x+y+c}{2}}=p\qquad {\frac {-x-y+c}{2}}=q}$

の 2 式が得られる。 x+y が奇数なら -x+y, -x-y も奇数なので p, q が整数であることに注意すると、 x+y が奇数のとき c=1 、偶数のとき c=0 がわかる。

十進法からの変換（小数部分）

上にある除法の節の Q_K を利用し、次の計算を行う。 変換前の十進数を R とする。

                r0=R
c0=QK(r0, 1)   r1=K×(r0-c0)
c1=QK(r1, 1)   r2=K×(r1-c1)
c2=QK(r2, 1)   r3=K×(r2-c2)
......

これにより、 R は K進法で c₀.c₁c₂c₃... と表記できる。

十進法への変換（整数部分）

上位より仮数を足してから底を掛けていく方法がある。

例えば 0, 1 を仮数に持ち、底を -2 とした記数法で表記された数 1101101 を十進法に変換すると、

  0+1=  1    1×(-2)= -2
 -2+1= -1   -1×(-2)=  2
  2+0=  2    2×(-2)= -4
 -4+1= -3   -3×(-2)=  6
  6+1=  7    7×(-2)=-14
-14+0=-14  -14×(-2)= 28
 28+1= 29

から十進法では 29 と表記できる。

十進法への変換（有限小数部分）

上位より仮数を足してから底を掛けていき、最下位の仮数を足したら、 それに最下位の重みを掛けるという方法がある。

十進法への変換（循環小数部分）

次の式を利用して変換できる。 ${\displaystyle {\frac {1}{e}}+{\frac {1}{e^{2}}}+{\frac {1}{e^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{e-1}}}$ 　　　　　(|e|＞1)

位の統合と分割

二つの記数法があるとし、それぞれの底が n, n^k となっており、 底が n の方で k桁で表される全ての数が、底が n^k の方では 1桁で表される時、 その対応により、各位を変換するだけで任意の数を変換することができる。 例えば、0, 1 を仮数に持つ底が -2 の記数法 [A] と、 -2, -1, 0, 1 を仮数に持つ底が 4 の記数法 [B] は、 10 と${\displaystyle {\bar {2}}}$ 、11と${\displaystyle {\bar {1}}}$ 、00 と 0 、01 と 1 が対応しているので、 例えば [A] で表記された 100011011 の二つの位を一つに統合すると、 101${\displaystyle {\bar {2}}}$${\displaystyle {\bar {1}}}$ となり [B] での表記が得られる。

詳しい定義

各用語の詳しい定義を紹介する。

0 を含む連続した整数の集合 z をとり、その元を位(あるいは桁)と呼ぶ。 特定の位をさしたいときには、0番位や 1番位と単位をつけることにする。 そして、任意の n∈z に対して空でない実数の有限集合 m_n をとり、 その元を n番位の仮数と呼ぶ。そして、任意の n∈z に対して実数 K_n を定め、 この K_n を n番位の重み(あるいは意味)と呼び、 K_n+1/K_n を n番位の底(あるいは基数)と呼ぶ。 これらをもとに数を表す方法を記数法(あるいは位取り記数法)という ( m_n の元や K_n は複素数でもよい)。 この z, m_n, K_n による記数法をK進法(あるいは K進記数法)とする。

集合 M_K={${\displaystyle \sum _{n\in z}C_{n}K_{n}}$|C_i∈m_i, i∈z} をとったとき、任意の ε＞0 に対して |X-Y|＜ε となる Y∈M_K が存在することを、 K進法で X を表記できるという。

ε を 0 に近づけたときの、 M_K の元の極限 ${\displaystyle \sum _{n\in z}C_{n}K_{n}}$を X の K進展開 と呼び、これを ...C₂C₁C₀.C_-1C_-2... と書いたものを X の K進表記(あるいは X の K進表現、あるいは X を意味する K進数)と呼ぶ。 このとき、0番位以外で仮数が 0 の位が無限に続く部分は省略するが、 省略されずに残った位の個数を桁数と呼ぶ(助数詞は桁)。

ある記数法において、ある（あるいは、全ての）整数について^[2]表記法が複数あるような場合を、冗長であるという。

関連項目

• 位取り記数法
• p進数
• 命数法

注・参考文献

1. ^ “MOF page”. 日立製作所 システム開発研究所 (2004年9月16日). 2004年9月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。
2. ^ 実数の場合、1.0 = 0.999... であるように、記数法ではなく数そのものの性質に由来する、表記の冗長性がある。

• 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会 ISBN 9784890194322