j-不変量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/09 02:15 UTC 版)
「ヴァイエルシュトラスの楕円函数」の記事における「j-不変量」の解説
上記の不変量を用いて j ( ω 1 , ω 2 ) = 1728 g 2 3 Δ {\displaystyle j(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1728g_{2}^{3}}{\Delta }}} と定めると、 Δ および g23はともに次数 −12 の斉次函数であるから j は次数 0 の斉次関数である。つまり τ = ω2/ω1 ならばつねに j ( ω 1 , ω 2 ) = j ( 1 , τ ) {\displaystyle j(\omega _{1},\omega _{2})=j(1,\tau )} が成り立つ。したがってこれは周期比 \tau=ω2/ω1 によってのみ定まるので1変数関数 j ( τ ) = j ( 1 , τ ) = 1728 g 2 3 ( 1 , τ ) Δ ( 1 , τ ) {\displaystyle j(\tau )=j(1,\tau )={\frac {1728g_{2}^{3}(1,\tau )}{\Delta (1,\tau )}}} が定義される。これをフェリックス・クラインの j-不変量、j-函数、あるいは単に j-不変量 (j-invariant) という。 Im(τ)>0 において g2 および g3 は正則で Δ(τ) ≠ 0 が成り立つから、 j-不変量も Im(τ)>0 において正則である。また不変量は周期格子にのみ依存することからモジュラー変換により不変である。つまり a,b,c,d が ad − bc = 1 を満たす整数（つまり ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} がモジュラー群 SL(2, Z) に属する）のとき Im(τ)>0 において j ( a τ + b c τ + d ) = j ( τ ) {\displaystyle j\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=j(\tau )} が成り立つ。そして j-不変量についてはフーリエ級数は、ノーム q = exp(iπτ) の平方を用いて、 j ( τ ) = q − 2 + 744 + 196884 q 2 + ⋯ {\displaystyle j(\tau )=q^{-2}+744+196884q^{2}+\cdots } となる（係数は（オンライン整数列大辞典の数列 A000521）により与えられる）。
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