類体論と j-不変量

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類体論と j-不変量

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 18:24 UTC 版)

「j-不変量」の記事における「類体論と j-不変量」の解説

j-不変量は、多くの注目すべき性質を有する。 τ が虚数乗法である、すなわち、虚数部が正である虚二次体の任意の元である（従って、j-不変量が定義される）ならば、j(τ) は代数的整数である。 体の拡大 Q[j (τ), τ]/Q(τ) はアーベル的、すなわち、ガロア群がアーベル的になる。 Λ を {1, τ} で生成される C の中の格子とすると、乗法の下に Λ を固定する Q(τ) のすべての元が、整環（英語版）(order)と呼ばれる環の単位元(unit)を形成することが容易にわかる。同様に、同じ整環の生成子 {1, τ′} を持つ格子は、Q(τ) 上で j (τ) の代数的共役である j (τ') を定義する。包含関係に従い、Q(τ) の唯一の最大整環は、Q(τ) の代数的整数の環であり、その環を持つ τ の値は、Q(τ) の不分岐拡大を導く。 これらの古典的な結果は、虚数乗法論の出発点となっている。