Stark conjectures

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スターク予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/03 08:18 UTC 版)

数論において、スターク予想（英: Stark conjectures）とは、代数体のガロア拡大 K/k に付随するアルティン L 函数のテイラー展開の主要項の係数についての予想である。スターク予想はハロルド・スタークが Stark (1971, 1975, 1976, 1980)で提示し、後日 Tate (1984)が拡張した。スターク予想は、数体のデデキントのゼータ函数のテイラー展開の主要項を表す解析的類数公式を一般化して、体の S 単数（S-units）に関連する単数基準と有理数との積として表すものである。スタークは K/k がアーベル拡大で、L 函数の s = 0 における位数 が 1 の場合について予想を精密化し、スターク単数と呼ばれる S 単数の存在を予想した。 Rubin (1996) と クリスティアン・ディミトルゥ・ポペスクは、この精密化された予想をさらに高次の位数へ拡張した。

定式化

スターク予想の最も一般的な形式は、「アルティン L 函数 L(s, χ) の s = 0 でのテイラー展開の先頭係数 C_S(χ) は、スターク単数基準 R_S(χ, f) の代数的数 A_S(χ, f) 倍であり、この代数的数へのガロア群の作用もこういった数字を用いて書き下すことができる」という予想である。体の拡大がアーベル的で、L 函数の s = 0 における位数が 1 のとき、精密化されたスターク予想は、根が基礎体 k のアーベル拡大となる K のクンマー拡大を生成するスターク単数の存在を予想する（K がアーベル拡大でない場合は、クンマー理論で拡大する）。このスターク予想の精密化には、ヒルベルトの第12問題を解くという理論的な意味がある。また、特別な場合にはスターク単数の計算が可能であるため、精密化されたスターク予想の信憑性の評価が可能であるほか、代数体のアーベル拡大を生成する重要な計算機的方法が得られる。実際、代数体のアーベル拡大を計算する標準的なアルゴリズムには、拡大を生成するスターク単数の生成操作を含むものがある（後述）。

記号と用語

スターク予想を正確に述べるための記号を準備する。k を（有限次）代数体、K を k の有限次ガロア拡大、G をそのガロア群とする。 S_∞ を k の無限素点すべての集合、S を S_∞ を含む素点の集合とする。

複素数体 C の部分環 A と Z 加群 M に対してテンソル積 A⊗_ZM を AM と略記する。

アルティン L 函数の先頭係数 C_S(χ)

ガロア群 G の複素数体上の有限次表現を一つ取り、V をその表現空間、χ をその指標とする。（S 部分を除外した）アルティン L 函数を

$L_{S}(s,\chi )=\prod _{{\mathfrak {p}}\notin S}\mathrm {det} \left(1-\mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}N{\mathfrak {p}}^{-s}\mid _{V^{I{\mathfrak {p}}}}\right)^{-1}$

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