半ノルム

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半ノルム

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/24 21:21 UTC 版)

絶対差函数 p(x, y) = |x − y| は平面 R² の半ノルムになる

数学の特に線型代数学および函数解析学における半ノルム（はんのるむ、英: semi­norm, semi-norm; セミノルム）は、ベクトル空間上で定義される絶対斉次劣加法的函数で、正定値と制約しないことによるノルムの一般化である。

半ノルムの値は非負かつ符号反転に関して対称であり、函数として 劣線型（ドイツ語版、英語版）かつ凸である。

各半ノルムには、適当な剰余類をとる商構成に誘導されるノルムが付随する。半ノルムからなる族を用いて、局所凸線型空間を定義することができる。

定義

ノルム体 K（ふつうは実数体 R または複素数体 C）上のベクトル空間 V に対し、V 上の半ノルムとは、写像 p: V → R+
0  で絶対斉次性および劣加法性を持つものを言う^[1]。式で書けば、x, y ∈ V および λ ∈ K を任意として

絶対斉次性

${\displaystyle p(\lambda x)=|\lambda |\,p(x)}$