実数値関数
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実数値関数（じっすうちかんすう、英: real-valued function）とは、値として実数を与える関数をいう。つまり、定義域のそれぞれの元に対し実数を割り当てる関数のことである。特に、定義域も実数の部分集合であるもの、すなわち実変数の実数値関数を実関数（じつかんすう、英: real function）という[1][2]。
多くの重要な関数空間が、いくつかの実数値関数からなるものとして定義されている。
一般の実数値関数
X を任意の集合とする。F(X, R) を X から R への関数全体の集合で表すものとする。R は可換体であるので、F(X, R) はベクトル空間であり、実数上の結合多元環は、以下のように定義できる。
- ベクトル和: f + g: x ↦ f(x) + g(x)
- 加法単位元: 0: x ↦ 0
- スカラーとの積: cf: x ↦ cf(x), c ∈ R
- 各点ごとの積: fg: x ↦ f(x)g(x)
また、R は順序集合であることから、F(X, R) には以下のような半順序が入る。
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