ムーファン・ループとは？わかりやすく解説

数学において、ムーファン・ループ（、（英: Moufang loop ）とは、特別な種類の代数構造である。多くの点で群に似ているが、必ずしも結合法則を満たさない。ムーファン・ループは、Ruth Moufang (1935) によって導入された。滑らかな^{[訳語疑問点]}ムーファン・ループは、関連する代数であるマルツェフ代数（英語版）がある。それはリー群に関連するリー代数があるのと類似している。^{[原文 1]}

定義

ムーファン・ループ はループ $Q$

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任意の群は、結合的であるから、従ってムーファン・ループである。
非ゼロな八元数は、乗算に関して、非結合的なムーファン・ループを成す。

性質

結合性

ムーファンループは (群とは異なり) 必ずしも結合的ではない ^{[注釈 1]}。ムーファン恒等式は、結合法則の弱い形式と見なすことができる。ムーファン恒等式に適当な値を代入することにより、以下の式が得られる：

x ( x z ) = ( x x ) z {\displaystyle x(xz)=(xx)z}
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脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ むしろ、結合的なムーファンループは、すなわち群である

訳注

^ 最初の等号は、ae = a を代入、二番目の等号は (M1): ( x y ) ( z x ) = ( x ( y z ) ) x {\displaystyle (xy)(zx)=(x(yz))x}

[2] むしろ、結合的なムーファンループは、すなわち群である

[5] 最初の等号は、ae = a を代入、二番目の等号は (M1): $(xy)(zx)=(x(yz))x$

[原文 1]

[注釈 1]

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ムーファン・ループ

定義

性質

結合性

脚注

注釈

訳注

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