ルンゲ＝レンツベクトル
物理学において、ルンゲ＝レンツベクトル（英: Runge–Lenz vector）とは、ケプラー問題、すなわち逆二乗則に従う中心力の下の運動における保存量の一つ[1][2][3]。古典力学の天体運行のケプラー問題や量子力学の水素原子モデルの問題などに現れる。空間的な回転対称性の下で保存量となる角運動量のように、他の多くの保存量が幾何学的な対称性から導かれるのとは異なり、ルンゲ＝レンツベクトルを導く対称性は力学的性質に由来し、力学的対称性と呼ばれる[2][3]。水素原子の束縛状態においては、量子力学的な角運動量演算子とルンゲ＝レンツベクトル演算子の交換関係は4次特殊直交群SO(4)に対応するリー代数をなし、固有値問題の代数的な解法を与える。
ルンゲ＝レンツベクトルという名はドイツの物理学者カール・ルンゲとヴィルヘルム・レンツに因む[4]。1924年の前期量子論の論文において、レンツはケプラー問題の摂動にルンゲ＝レンツベクトルを適用し、その引用文献として、ルンゲのベクトル解析の著作 "Vectoranalysis" を挙げた[5][6]。なお、フランスの物理学者ピエール＝シモン・ラプラスはルンゲやレンツに先駆けて、1799年の天体力学の著作 "Traité de mécanique céleste" の中でルンゲ＝レンツベクトルの性質を論じており[4][7][8]、ラプラス＝ルンゲ＝レンツベクトル（英: Laplace–Runge–Lenz vector）とも呼ばれる。但し、その発見はさらに古く、少なくとも18世紀初頭のベルヌーイ家の門弟ヤコブ・ヘルマンとヨハン・ベルヌーイの結果に遡るとされる[9]。
導入
ルンゲ＝レンツベクトルは距離に反比例する引力型の中心力ポテンシャルによるケプラー問題に現れる[1][2][3]。重力ポテンシャルによって太陽の回りを運行する惑星やクーロンポテンシャルによって原子核の回りを運動する水素型原子の電子の運動はそうした例である。ここで、古典力学でのケプラー問題を考え、ルンゲ＝レンツベクトルを導入する。惑星や電子の質量に対し、太陽や原子核の質量は十分大きく、その運動は無視できるとし、原点に固定されているものと仮定する[注 1]。惑星や電子に対応する質点の位置座標を r、質量を m とし、原点を中心とした中心力ポテンシャルを
楕円軌道の各点におけるルンゲ＝レンツベクトル A = p × L − mkr/r（赤色の矢印）。ルンゲ＝レンツベクトルは一定であり、その方向は原点から近日点を結ぶベクトル rp と等しく、その大きさは mke である。参考に p × L（青色の矢印）と mkr/r（緑色の矢印）を同時に示している。但し、図中では = r/r の記法を用いている。 ルンゲ＝レンツベクトルは時間的に変化しない一定ベクトルであり、楕円軌道を含む一定平面内に位置する。その方向は原点である焦点と近日点 (perihelion) を結ぶ方向にある。また、その大きさは
水素原子 (Z = 1) のエネルギー準位。エネルギー固有状態は主量子数 n、方位量子数 l、磁気量子数 m で指定されるが、エネルギー準位は主量子数だけで定まり、n2 重に縮退している。エネルギー準位は角運動量とルンゲ＝レンツベクトルから代数的に求めることができる。 量子力学においては、対称性は保存量と結び付き、エネルギー準位の縮退を導く。水素型原子モデルのエネルギー固有状態は主量子数 n、方位量子数 l、磁気量子数 m で指定されるが、エネルギー準位は主量子数だけで定まり、n2 重に縮退している。空間的に球対称な水素型原子モデルでは、SO(3)で表される回転対称性により、角運動量が保存量となる。但し、回転対称性だけでは −l, −l + 1, …, 0, …, l − 1, l の値をとる磁気量子数による (2l + 1) 重の縮退しか説明できない。このことは、さらに別の対称性の存在を示唆する。この対称性こそが、束縛状態で角運動量とルンゲ＝レンツベクトルがなすSO(4)の対称性である。
量子化
量子力学では正準量子化により、力学的な物理量はエルミート演算子になる。演算子（の各座標成分）同士の積は可換とは限らず、古典力学とは違い演算子 × は − × に一致しない[注 7]。したがって、 × はエルミート演算子ではなく[注 8]、量子力学では物理量を表わさない。そこで量子力学的なルンゲ＝レンツベクトルは、エルミート演算子
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