黄金律の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/31 04:38 UTC 版)
資本の収益率（利子率）が成長率に等しくなる均斉成長が存在する場合、その均斉成長が黄金律である。このことをロビンソンは新古典派定理とよんだ。フェルプスは、黄金時代における消費最大化に関する定理とよんだ。後にフェルプスはこれを黄金律の定理とよんでいる。 この定理をPhelps（1965）にもとづいて数式をつかって示すと次のとおりである。 経済構造は次の3つの式であらわされるものとする。 Y t = F ( K t , A t L t ) {\displaystyle Y_{t}=F(K_{t},A_{t}L_{t})} …時点 t {\displaystyle t} の生産物 Y t {\displaystyle Y_{t}} は生産関数 F {\displaystyle F} をつうじて資本 K t {\displaystyle K_{t}} と有効労働 A t L t {\displaystyle A_{t}L_{t}} によってつくられる。生産関数 F {\displaystyle F} は１次同次関数とする（規模に関して収穫一定）。有効労働 A t L t {\displaystyle A_{t}L_{t}} は、技術 A t {\displaystyle A_{t}} と労働 L t {\displaystyle L_{t}} を掛け合わせたものであり、まとめて定率 g {\displaystyle {g}} で外生的に増加するものとする（労働拡張型技術進歩、前述）。 Y t = C t + I t {\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}} …生産物 Y t {\displaystyle Y_{t}} は消費 C t {\displaystyle C_{t}} にあてられるか投資 I t {\displaystyle I_{t}} にあてられる。 K t ˙ = I t − δ K t {\displaystyle {\dot {K_{t}}}=I_{t}-\delta K_{t}} …資本 K t {\displaystyle K_{t}} は投資 I t {\displaystyle I_{t}} によって増えるが、一定の減耗率 δ {\displaystyle \delta } で減る。 以上３つの経済構造式を資本の微分方程式のかたちにまとめると次式を得る。 K t ˙ = F ( K t , A t L t ) − δ K t − C t {\displaystyle {\dot {K_{t}}}=F(K_{t},A_{t}L_{t})-{\delta }K_{t}-C_{t}} 外生変数である有効労働 A t L t {\displaystyle A_{t}L_{t}} で資本 K t {\displaystyle K_{t}} と消費 C t {\displaystyle C_{t}} を割って基準化し、それぞれを小文字 k t {\displaystyle k_{t}} と c t {\displaystyle c_{t}} であらわす。規模に関する収穫一定の仮定の下で f ( k ) ≡ F ( k , 1 ) {\displaystyle f(k)\equiv F(k,1)} と定義すると、上記の微分方程式から A t L t {\displaystyle A_{t}L_{t}} を消去できる。 k t ˙ + g k t = f ( k t ) − δ k t − c t {\displaystyle {\dot {k_{t}}}+gk_{t}=f(k_{t})-{\delta }k_{t}-c_{t}} 均斉成長で資本 K t {\displaystyle K_{t}} と消費 C t {\displaystyle C_{t}} は有効労働 A t L t {\displaystyle A_{t}L_{t}} と同率で成長するので、有効労働 A t L t {\displaystyle A_{t}L_{t}} で基準化された資本水準 k t {\displaystyle k_{t}} と消費水準 c t {\displaystyle c_{t}} は均斉成長で一定になる。一定になる資本水準を k {\displaystyle {k}} 、消費水準を c {\displaystyle {c}} と表すと、上記の式で次のようになる。 c = f ( k ) − ( δ + g ) k {\displaystyle c=f(k)-(\delta +g)k} そして消費水準 c {\displaystyle c} を最大化する黄金律資本 k ∗ {\displaystyle k^{*}} をもとめる。まず、均斉成長で消費がプラスになるの領域がないとプラスの黄金律は存在しないので、消費がプラスになる領域があることにしよう。生産関数が2回微分可能であり、その1回微分が正で2回微分が負である場合 ( f ′ > 0 , f ″ < 0 ) {\displaystyle (f'>0,f''<0)} 、消費水準 c {\displaystyle c} を最大化する黄金律資本 k ∗ {\displaystyle k^{*}} は、上記の式で c {\displaystyle c} を k {\displaystyle k} で微分してゼロとなる点である。 f ′ ( k ∗ ) − δ − g = 0 {\displaystyle f'(k^{*})-\delta -g=0} f ′ ( k ) − δ {\displaystyle f'(k)-\delta } は資本の純収益率であり、これを利子率 r {\displaystyle r} と表す。黄金律利子率 r ∗ ≡ f ′ ( k ∗ ) − δ {\displaystyle r^{*}{\equiv }f'(k^{*})-\delta } を用いて次式を得る。 r ∗ = g {\displaystyle r^{*}=g} これにより利子率が成長率に等しい均斉成長が存在し、それが黄金律になることが示された。 微分不能な点のあるハロッド・ドーマー型生産関数の場合も、黄金律を示すことができる。Golden Rule savings rate
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