Theorema Egregiumとは？わかりやすく解説

数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学 > リーマン多様体 > 部分リーマン多様体の接続と曲率 > Theorema Egregium

Theorema Egregium（ラテン語。音訳：テオーレーマ・エーグレギウム^{[注 1]}。直訳：卓越した定理^{[注 2]}）はカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された定理で、曲面のガウス曲率が曲面の内在的な量（リーマン計量）のみで書ける事を主張する。

日本語では

「最も素晴らしい定理」^[7]
「驚異の定理」^[8]^[9]
「Gaussの基本定理」^[10]
「抜群の定理」^[11]

などと訳される事もあるが、egregiumには「驚異の」という意味はない^{[注 2]}。英語では「Remarkable Theorem」（注目すべき定理）と意訳する事もある^[12]^[13]^[14]。

語源

「Theorema Egregium」という語はこの定理を示したガウスの原論文から来ている：

Formula itaque art. praec, sponte perducit ad egregium
THEOREMA. Si superficies curva in quamcunque aliam superficiem explicatur, mensura curuaturae in singulis punctis inuariata manet. — Carl Friedrich Gauss、Disquisitiones generales circa superficies curvas^[15]

したがって前項の公式それ自身が導く、卓越した^{[注 2]}^{[注 3]}
定理. もし曲面が他の任意の曲面にどのように発展したとしても、各点における曲率の大きさは不変である。 — カール・フリードリヒ・ガウス、曲面の一般的考察^[16]^[17]

概要

$M$ を3次元ユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{3}$

ヘリコイド（螺旋面）からカテノイド（懸垂面）に変形するアニメーション

したがって、 $\mathbb {R} ^{3}$

Theorema Egregiumから得られる帰結として、平面上に地球の正確な歪みの無い地図を描くことはできない。

Theorema Egregiumを使うと、地球の地図を書くとき距離を歪ませない正確な地図は書けない事を示す事ができる^{[注 4]}^{[注 5]}。実際、もし正確な地図が書けるなら、地球と地図（すなわち球面と平面）の距離構造は同一なので、Theorema Egregiumより両者のガウス曲率は等しくなければならないが、球面のガウス曲率は半径を $R$ とすると $1/R 2$ であり、平面のガウス曲率は $0$ である事が知られているので、これは矛盾である。

なお、ガウスがTheorema Egregiumなどの曲面論（ガウスの曲面論（英語版））を研究したきっかけは、国家の測量を依頼されたためであった。

ベルンハルト・リーマンはTheorema Egregiumに着目する事により、「外の空間」なしの $n$ 次元曲面、すなわち $n$ 次元リーマン多様体を定義し、これが今日の微分幾何学の研究の嚆矢となった。

さらにアルベルト・アインシュタインは、重力の座標変換則がリーマン多様体のそれとよく似ている事に着目し、宇宙をリーマン多様体の類似物（擬リーマン多様体）と見なすことで一般相対性理論を確立した。

厳密な定式化

古典的な定式化

Theorema Egregiumは以下のように定式化できる：

定理 ― $\mathbb {R} ^{3}$

[注 1]

[注 2]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[注 3]

[16]

[17]

[注 4]

[注 5]

Theorema Egregiumとは？ わかりやすく解説