非可逆性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/23 15:43 UTC 版)
「シュトルツ＝チェザロの定理」の記事における「非可逆性」の解説
この定理、すなわち「数列の差分の比の極限が存在する⇒その数列の比の極限が存在する」の逆は真であるとは限らない。例えば、二つの数列、 { a n } = { 10 , 10 , 100 , 100 , 1000 , 1000 , … } , {\displaystyle \{a_{n}\}=\{10,10,100,100,1000,1000,\dots \},} { b n } = { 10 , 11 , 100 , 101 , 1000 , 1001 , … } {\displaystyle \{b_{n}\}=\{10,11,100,101,1000,1001,\dots \}} に対して、 lim n → ∞ a n b n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1} であるが、 lim _ n → ∞ a n − a n − 1 b n − b n − 1 = 0 , lim ¯ n → ∞ a n − a n − 1 b n − b n − 1 = 1 {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=0,\quad \varlimsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=1} となるので、数列 a n − a n − 1 b n − b n − 1 {\displaystyle {\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}} の極限値は存在しない。
※この「非可逆性」の解説は、「シュトルツ＝チェザロの定理」の解説の一部です。
「非可逆性」を含む「シュトルツ＝チェザロの定理」の記事については、「シュトルツ＝チェザロの定理」の概要を参照ください。
- 非可逆性のページへのリンク
