階数 (線型代数学)

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行列の階数

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線型代数学における行列の階数（かいすう、rank; ランク）は、行列の特徴を表す最も基本的な数の一つ。行列に同伴する線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示す数である。行列の階数には幾つもの同値な定義がある。

例えば、行列 A の階数 rank(A)（あるいは rk(A) または丸括弧を落として rank A）は、A の列空間（列ベクトルの張るベクトル空間）の次元^[1]に等しく、また A の行空間の次元^[2]とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。

行列の階数の概念はジェームス・ジョセフ・シルベスターが考えた^[3]。

定義

任意の行列 A について、以下はいずれも同値である。

• A の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の列空間の次元）
• A の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の行空間の次元）
• A に基本変形を施して階段行列 B を得たとする。このときの B の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される）
• 表現行列 A の線型写像の像空間の次元。詳しくは#線型写像の階数を参照。
• A の 0 でないような小行列式の最大サイズ
• A の特異値の数

文献により、上記の条件のいずれかを以って行列 A の階数は定義される。

注意

いま A の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に A の階数と呼ぶことができる。これについて、Wardlaw (2005)^[4] はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた（これは任意の体上で有効である）。また、Mackiw (1995) ^[2]は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 Banerjee & Roy (2014) ^[5]に出ている。

性質

A を m × n 行列とする。また、 f を表現行列 A の線型写像とする。

一般の体上

• m × n 行列の階数は非負整数で、m, n の何れも超えない。すなわち rank(A) ≤ min(m, n) が成り立つ。特に rank(A) = min(m, n) のとき、A は最大階数（full rank; フルランク; 充足階数、完全階数）を持つとかフルランク行列などといい、さもなくばA は階数落ち（英語版） (rank deficient; 階数不足) であるという。
• A が零行列のときかつその時に限り rank(A) = 0.
• f が単射となるための必要十分条件は、rank(A) = n（これを A は列充足階数を持つという）となることである。
• f が全射となるための必要十分条件は、rank(A) = m となる（A が行充足階数を持つ）ことである。
• A が正方行列（つまり m = n）のとき、A が正則であるための必要十分条件は、rank(A) = n（A が充足階数）となることである。
• B を任意の n × k 行列として rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) が成り立つ。
  • B が行充足階数 n × k 行列ならば rank(AB) = rank(A) が成り立つ。
  • C が列充足階数 l × m 行列ならば rank(CA) = rank(A) が成り立つ。

• rank(A) = r となるための必要十分条件は、m × m 正則行列 X と n × n 正則行列 Y が存在して $${\displaystyle XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$ カテゴリ