重心の運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/30 09:12 UTC 版)
詳細は「運動量保存の法則」を参照 古典力学において、質量は物体がどんな状況にあろうと変化しない値なので、質量 m {\displaystyle \,m} 、速さ v → {\displaystyle {\vec {v}}} 、位置座標 r → {\displaystyle {\vec {r}}} の質点の運動方程式を次のように表すことができる。 F → = m d 2 r → d t 2 = m d v → d t = d p → d t {\displaystyle {\vec {F}}=m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}} ここで、 p → {\displaystyle {\vec {p}}} は運動量と呼ばれる物理量である。質点が複数ある質点系において、重心と呼ばれる座標 r → G {\displaystyle {\vec {r}}_{G}} が存在する。質点系の質点は互いに離れてばらばらに運動しているが、すべての質点の質量を持ち、その運動は質点系そのものの運動とみなせる質点を扱うことができる。その質点が重心であり、その運動方程式を重心の運動方程式という。 M d 2 r → G d t 2 = d P → d t = ∑ i = 1 N F i {\displaystyle M{\frac {d^{2}{\vec {r}}_{G}}{dt^{2}}}={\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{N}F_{i}} ここで、 M {\displaystyle \,M} は質点系内の全質量(重心の質量)、 N {\displaystyle \,N} は質点の個数、 P → {\displaystyle {\vec {P}}} は全運動量(重心の運動量)、 F i {\displaystyle \,F_{i}} はi番目の質点に働く外力である。重心の運動量は内力には依存せず、したがって、外力が働いていない系、または外力の総和が 0 {\displaystyle \,0} の系では全運動量 P → {\displaystyle {\vec {P}}} は保存される。 質点の個数 N {\displaystyle \,N} が無限にあり、連続的に分布している系では、重心座標は次のように表される。 r → G ≡ 1 M ∫ V r → d m = 1 M ∫ V r → ρ ( r → ) d V = 1 M ∭ V r → ρ ( r → ) d x d y d z {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {r}}_{G}&\equiv {\frac {1}{M}}\int _{V}^{}{\vec {r}}\,dm\\&={\frac {1}{M}}\int _{V}^{}{\vec {r}}\rho ({\vec {r}})\,dV\\&={\frac {1}{M}}\iiint _{V}^{}{\vec {r}}\rho ({\vec {r}})\,dx\,dy\,dz\\\end{aligned}}} M ≡ ∫ V d m = ∫ V ρ ( r → ) d V = ∭ V ρ ( r → ) d x d y d z {\displaystyle M\equiv \int _{V}^{}\,dm=\int _{V}^{}\rho ({\vec {r}})\,dV=\iiint _{V}^{}\rho ({\vec {r}})\,dx\,dy\,dz} ここで、 ρ ( r → ) {\displaystyle \rho ({\vec {r}})} は位置 r → {\displaystyle {\vec {r}}} での質点の密度を示し、積分領域 V {\displaystyle \,V} は質点の分布している領域に亘っている。
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