逆転群

ウィキペディア小見出し辞書

逆転群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/07 22:24 UTC 版)

「自然変換」の記事における「逆転群」の解説

詳細は「逆転群」を参照 現代数学において 「任意の群はその逆転群に自然同型である」 といったような言及がよく見られる。いま、この言及のきちんとした意味を、証明と共に与えよう。 まず、すべての群が群準同型を射として成す圏 Grp を考える。また、(G, *) が群であるとき、その逆転群（反群） (Gop, *op) は次のようにして定められる。台集合としての Gop は G と同じものとし、演算 *op は a *op b = b * a を満たすものとして定める。つまり、Gop における乗法は G の乗法を「逆さま」にしたものである。群から逆転群を作る操作 "op"は、各群準同型 f: G → H に対して fop = f と定めれば、Grp から Grp への（共変）函手になる（逆転函手）。ここで、fop が実際に Gop から Hop の群準同型であること、つまり fop(a *op b) = f(b * a) = f(b) * f(a) = fop(a) *op fop(b) を満たすことに注意せよ。 さて上記の言及の内容は、即ち 「恒等函手 IdGrp: Grp → Grp は逆転函手 op: Grp → Grp に自然同型である」 ということである。これを示すのには、各群 G に先述の可換図式を満たす同型 ηG: G → Gop を与えねばならない。ηG(a) := a−1 と置けば、公式 (ab)−1 = b−1 a−1 および (a−1)−1 = a から ηG は群 G からその逆転群への群準同型である。自然性の証明は、群準同型 f: G → H に対して ηH ∘ f = fop ∘ ηG となることが言えればよい。これはつまり G の各元 a について (f(a))−1 = fop(a−1) が成り立つということであり、これは fop = f であったことと任意の群準同型が (f(a))−1 = f(a−1) なる性質を持つことから正しい。