超限的な項数を持つ算法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/06 04:04 UTC 版)
超限順序数を項数とする算法もある。例えば、最小の超限順序数（非負整数の全体の順序型）を ω で表し、実数の全体を R で表すと、直積 Rω は実数列 a0, a1, ... の全体であるが、収束する実数列にその極限を対応させる写像は、非全域的の ω 項算法である。数列の極限をこのように ω 項算法とみなすことには効用もある。たとえば、数列の極限の ε-n 式定義を ω 項算法の代数的条件によって書き換えて、極限を公理化することができる。つまり、R における次の六条件をみたす ω 項算法 L が極限に他ならない。 L(a, a, ...) = a L(a1, a2, ...) = a, L(b1, b2, ...) = b, an ≤ bn (n=1,2,...) なら a ≤ b L(a1, a2, ...) = a なら a1, a2, ... の任意の部分列 b1, b2, ... に対して L(b1, b2, ...) = a （はさみうちの原理）L(a1, a2, ...) = L(b1, b2, ...) = a, an ≤ cn ≤ bn (n=1,2,...) なら L(c1, c2, ...) = a (アルキメデスの原理)L(a±(1/1), a±(1/2), a±(1/3), ...) = a （複号同順） a1, a2, ... の任意の部分列 b1, b2, ... に L(c1, c2, ...) = a なる部分列 c1, c2, ... があれば L(a1, a2, ...) = a 大学 1, 2 年次の学生や高校生に「行列の算法は非全域的算法である」とか「極限は ω 項算法である」とか教えるのは勧められないが、数理科学者がそういうことを認識するのは、視野が広がるので好ましいであろう。
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