超選択則と混合状態
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/08 15:48 UTC 版)
超選択則を特徴付ける演算子 J ^ {\displaystyle {\hat {J}}} の異なる固有値に属する（すなわち、 J ^ {\displaystyle {\hat {J}}} がオブザーバブルであるとすれば、それに対応する物理量 J {\displaystyle J} の値が異なる）2つの量子状態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } と | ψ ′ ⟩ {\displaystyle |\psi '\rangle } は、任意のオブザーバブル A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} （超選択則より J ^ {\displaystyle {\hat {J}}} と可換）に対して、 ⟨ ψ | A ^ | ψ ′ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \psi |{\hat {A}}|\psi '\rangle =0} を満たす。これは | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } と | ψ ′ ⟩ {\displaystyle |\psi '\rangle } における J {\displaystyle J} の値をそれぞれ j {\displaystyle j} と j ′ {\displaystyle j'} （これらはいずれも実数であることに注意）として j ⟨ ψ | A ^ | ψ ′ ⟩ = ⟨ ψ | J ^ A ^ | ψ ′ ⟩ = ⟨ ψ | A ^ J ^ | ψ ′ ⟩ = j ′ ⟨ ψ | A ^ | ψ ′ ⟩ {\displaystyle j\langle \psi |{\hat {A}}|\psi '\rangle =\langle \psi |{\hat {J}}{\hat {A}}|\psi '\rangle =\langle \psi |{\hat {A}}{\hat {J}}|\psi '\rangle =j'\langle \psi |{\hat {A}}|\psi '\rangle } であることから分かる。 これら2つの重ねあわせ状態 | Ψ ⟩ = c 1 | ψ ⟩ + c 2 | ψ ′ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle =c_{1}|\psi \rangle +c_{2}|\psi '\rangle } においてオブザーバブル A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値は、干渉項が落ちるので ⟨ Ψ | A ^ | Ψ ⟩ = | c 1 | 2 ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ + | c 2 | 2 ⟨ ψ ′ | A ^ | ψ ′ ⟩ {\displaystyle \langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle =|c_{1}|^{2}\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle +|c_{2}|^{2}\langle \psi '|{\hat {A}}|\psi '\rangle } となる。任意のオブザーバブル A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} に対してこれが成立するので、重ね合わせによる量子干渉効果を観測することが出来ない。その意味で | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } は古典確率的に | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } と | ψ ′ ⟩ {\displaystyle |\psi '\rangle } のどちらかであるような状態、すなわち混合状態のように振る舞う。このように超選択則は「 J ^ {\displaystyle {\hat {J}}} の異なる固有値に属する固有状態の重ね合わせが、混合状態として振る舞うこと」と定義することもできる。 2つの状態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } と | ψ ′ ⟩ {\displaystyle |\psi '\rangle } が任意のオブザーバブルに対して ⟨ ψ | A ^ | ψ ′ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \psi |{\hat {A}}|\psi '\rangle =0} を満たすとき、この2つの状態は超選択則によって分離されていると言う。超選択則によって分離されている状態の重ね合わせが混合状態のように振る舞うことは、上と同様にして示される。これに対し、ハミルトニアン演算子 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} について ⟨ ψ | H ^ | ψ ′ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \psi |{\hat {H}}|\psi '\rangle =0} を満たす2つの状態は選択則によって分離されていると言う。
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