超球面座標系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/03 11:31 UTC 版)
二次元球面 S2 上の通常の球面座標系に対応するものとして、S3 上の超球面座標系の一種を入れることは想定しやすい。この場合、とり方は一つではないけれども、三つのパラメタ (ψ, θ, φ) を用いて x 0 = r cos ψ x 1 = r sin ψ cos θ x 2 = r sin ψ sin θ cos ϕ x 3 = r sin ψ sin θ sin ϕ ( 0 ≤ ψ , θ ≤ π , 0 ≤ φ < 2 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos \theta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi \end{aligned}}\qquad (0\leq \psi ,\theta \leq \pi ,\;\ 0\leq \varphi <2\pi )} (1) のように取ればよい。ψ を任意の値で固定するとき、二つのパラメタ θ, φ は半径 sin(ψ) の二次元球面を描くことに注意せよ（ただし、ψ が 0 または π のときは退化して一点を表す）。 この座標系に関して、三次元球面上の球面距離 (round metric) は d s 2 = r 2 [ d ψ 2 + sin 2 ψ ( d θ 2 + sin 2 θ d ϕ 2 ) ] {\displaystyle {\mathit {ds}}^{2}=r^{2}[{\mathit {d\psi }}^{2}+\sin ^{2}\psi ({\mathit {d\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\mathit {d\phi }}^{2})]} で与えられ[要出典]、また体積要素（あるいは体積形式）は d V = r 3 ( sin 2 ψ sin θ ) d ψ ∧ d θ ∧ d ϕ {\displaystyle {\mathit {dV}}=r^{3}(\sin ^{2}\psi \,\sin \theta ){\mathit {d\psi }}\wedge {\mathit {d\theta }}\wedge {\mathit {d\phi }}} と与えられる。 これらの座標は四元数を用いる洗練された記述の仕方がある。任意の単位四元数 q が適当な単位虚四元数 τ (τ2 = -1) を用いて、ベルソル（英語版） として q = e τ ψ = cos ψ + τ sin ψ {\displaystyle q=e^{\tau \psi }=\cos \psi +\tau \sin \psi } と表せることを想起せよ（オイラーの公式の四元数版）。いま単位虚四元数は三次元空間 ℑm H 内の二次元単位球面上に載っているから、上記の τ はいつでも τ = ( cos θ ) i + ( sin θ cos φ ) j + ( sin θ sin ϕ ) k {\displaystyle \tau =(\cos \theta )i+(\sin \theta \cos \varphi )j+(\sin \theta \sin \phi )k} の形（通常の球面座標系を用いた表示）に書くことができて、これを用いて q を q = e τ ψ =: x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k {\displaystyle q=e^{\tau \psi }=:x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k} と書き下せば、ここに xi (i = 0, 1, 2, 3) は先の変換式 1 を満たすものであると識れる。 単位四元数 q で空間回転を記述するとき（cf. 四元数と空間回転（英語版）)、上記の表示は τ の周りに 2ψ の角度で回ることを述べるものと見ることができる。
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