計算機向けの変形とは? わかりやすく解説

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計算機向けの変形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/19 22:01 UTC 版)

スターリングの近似」の記事における「計算機向けの変形」の解説

ガンマ関数の(関数電卓などの)計算機向けの近似として次の式がある。 Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e z sinh1 z + 1 810 z 6 ) z {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}} これは、次と同等である。 2 ln ⁡ Γ ( z )ln ⁡ 2 π − ln ⁡ z + z { 2 ln ⁡ z + ln ⁡ ( z sinh1 z + 1 810 z 6 ) − 2 } {\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\sim \ln 2\pi -\ln z+z\left\{2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right\}} これらはスターリングの公式組み替えて、その結果生じ冪級数双曲線正弦関数テイラー展開の間の合致観察することで得られる。この近似は z の実数部が 8 以上のとき、小数点以下 8 超える精度を持つ。2002年Robert H. Windschitl がリソース制限され計算機電卓など)でのそれなりの正確性持った近似としてこれを示した。 Gergő Nemes は 2007年にほぼ同程度結果与え近似式提案した。こちらはより単純である。 Γ ( z ) ∼ 2 π z { 1 e ( z + 1 12 z − 1 10 z ) } z {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left\{{\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right\}^{z}} これは、次と同等である。 ln ⁡ Γ ( z )1 2 ( ln ⁡ 2 π − ln ⁡ z ) + z { ln ⁡ ( z + 1 12 z − 1 10 z ) − 1 } {\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim {\frac {1}{2}}\left(\ln 2\pi -\ln z\right)+z\left\{\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right\}}

※この「計算機向けの変形」の解説は、「スターリングの近似」の解説の一部です。
「計算機向けの変形」を含む「スターリングの近似」の記事については、「スターリングの近似」の概要を参照ください。

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