計算機向けの変形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/19 22:01 UTC 版)
「スターリングの近似」の記事における「計算機向けの変形」の解説
ガンマ関数の（関数電卓などの）計算機向けの近似として次の式がある。 Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e z sinh 1 z + 1 810 z 6 ) z {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}} これは、次と同等である。 2 ln Γ ( z ) ∼ ln 2 π − ln z + z { 2 ln z + ln ( z sinh 1 z + 1 810 z 6 ) − 2 } {\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\sim \ln 2\pi -\ln z+z\left\{2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right\}} これらはスターリングの公式を組み替えて、その結果生じる冪級数と双曲線正弦関数のテイラー展開の間の合致を観察することで得られる。この近似は z の実数部が 8 以上のとき、小数点以下 8 桁を超える精度を持つ。2002年、Robert H. Windschitl がリソースの制限された計算機（電卓など）でのそれなりの正確性を持った近似としてこれを示した。 Gergő Nemes は 2007年にほぼ同程度の結果を与える近似式を提案した。こちらはより単純である。 Γ ( z ) ∼ 2 π z { 1 e ( z + 1 12 z − 1 10 z ) } z {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left\{{\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right\}^{z}} これは、次と同等である。 ln Γ ( z ) ∼ 1 2 ( ln 2 π − ln z ) + z { ln ( z + 1 12 z − 1 10 z ) − 1 } {\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim {\frac {1}{2}}\left(\ln 2\pi -\ln z\right)+z\left\{\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right\}}
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