視覚的な解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/22 02:58 UTC 版)
パラメーター t によって ( x , y ) = ( f ( t ) , g ( t ) ) {\textstyle (x,y)=(f(t),g(t))} で表された曲線を定義する。この曲線が局所的に一対一対応であると仮定すると、 x ( y ) = f ( g − 1 ( y ) ) {\displaystyle x(y)=f(g^{-1}(y))} y ( x ) = g ( f − 1 ( x ) ) {\displaystyle y(x)=g(f^{-1}(x))} 青色の領域の面積は、 A 1 = ∫ y 1 y 2 x ( y ) d y {\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy} 同様に赤色の領域の面積は、 A 2 = ∫ x 1 x 2 y ( x ) d x {\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx} にそれぞれ対応する。 A 1 {\textstyle A_{1}} と A 2 {\textstyle A_{2}} を足し合わせた領域全体は、大きい方の長方形の面積 x 2 y 2 {\textstyle x_{2}y_{2}} から小さい方の長方形の面積 x 1 y 1 {\textstyle x_{1}y_{1}} を除いたものに等しい。 ∫ y 1 y 2 x ( y ) d y ⏞ A 1 + ∫ x 1 x 2 y ( x ) d x ⏞ A 2 = x i y i | i = 1 i = 2 {\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx} ^{A_{2}}={\biggl .}x_{i}y_{i}{\biggl |}_{i=1}^{i=2}} 近傍で曲線が滑らかであれば、これは不定積分に一般化できる。 ∫ x d y + ∫ y d x = x y {\displaystyle \int xdy+\int ydx=xy} 変形して、 ∫ x d y = x y − ∫ y d x {\displaystyle \int xdy=xy-\int ydx} つまり部分積分は、青色の領域の面積が領域全体の面積と赤色の領域の面積から導かれることに相当すると考える事が出来る。 またこのように可視化することにより、関数 f ( x ) {\textstyle f(x)} の積分が分かっている時に逆関数 f − 1 ( x ) {\textstyle f^{-1}(x)} の積分が部分積分で求められることが理解出来る。実際、関数 x ( y ) {\textstyle x(y)} と y ( x ) {\textstyle y(x)} は逆関数の関係にあり、積分 ∫ x d y {\textstyle \int xdy} は ∫ y d x {\textstyle \int ydx} が分かっていれば上記のようにして計算可能である。
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