荷電共役
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/29 18:03 UTC 版)
「ファン・デル・ヴェルデン表示」の記事における「荷電共役」の解説
スピノルの荷電共役変換（C 変換）は次のように表される: ψ ⟶ C ψ C = C ψ ¯ T {\displaystyle \psi \;{\overset {\rm {C}}{\longrightarrow }}\;\psi ^{\rm {C}}=C{\overline {\psi }}^{\rm {T}}} , ここで C は荷電共役行列であり、カイラル表現においては C = i γ 2 γ 0 = ( ε 0 0 − ε ) {\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}\varepsilon &0\\0&-\varepsilon \end{pmatrix}}} である。ただし ε = i σ 2 = ( ε 11 ε 12 ε 21 ε 22 ) = ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle \varepsilon =i\sigma _{2}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} , ここで εij は2階の完全反対称テンソルである。 よって ψ = ( ξ α η ¯ α ˙ ) ⟶ C ψ C = C ( η α ξ ¯ α ˙ ) = ( ε α β η β ε α ˙ β ˙ ξ ¯ β ˙ ) {\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\xi _{\alpha }\\{\bar {\eta }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}\;{\overset {\rm {C}}{\longrightarrow }}\;\psi ^{\rm {C}}=C{\begin{pmatrix}\eta ^{\alpha }\\{\bar {\xi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{\alpha \beta }\eta ^{\beta }\\\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}{\bar {\xi }}_{\dot {\beta }}\end{pmatrix}}} , ここで ε·α·β はクロネッカーのデルタ δ を用いた εαβ εβγ = δαγ によって定義され、εij = −εij を満たす。 これまでの整合性から ( ψ L ) C = ( 0 ξ ¯ α ˙ ) , ( ψ R ) C = ( η α 0 ) {\displaystyle (\psi _{\rm {L}})^{\rm {C}}={\begin{pmatrix}0\\{\bar {\xi }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}},\quad (\psi _{\rm {R}})^{\rm {C}}={\begin{pmatrix}\eta _{\alpha }\\0\end{pmatrix}}} とすると、 ( η α ξ ¯ α ˙ ) = ( ε α β η β ε α ˙ β ˙ ξ ¯ β ˙ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\eta _{\alpha }\\{\bar {\xi }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{\alpha \beta }\eta ^{\beta }\\\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}{\bar {\xi }}_{\dot {\beta }}\end{pmatrix}}} . すなわち ηα, ξ·α の添字の上げ下げには、2階の完全反対称テンソル εαβ が用いられることが分かる。
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