自励系への変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/11 14:28 UTC 版)
任意の n 次元の非自励系は、n + 1 番目の従属変数として xn+1 := t を導入することで、n + 1 次元の自励系に機械的に変換できる。すなわち、非自励系 { d x 1 d t = f 1 ( t , x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) d x 2 d t = f 2 ( t , x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ⋮ d x n d t = f n ( t , x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx_{1}}{dt}}=f_{1}(t,\ x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})\\{\dfrac {dx_{2}}{dt}}=f_{2}(t,\ x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})\\\vdots \\{\dfrac {dx_{n}}{dt}}=f_{n}(t,\ x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})\\\end{cases}}} において、xn+1 := t と置くことで、 { d x 1 d t = f 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , x n + 1 ) d x 2 d t = f 2 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , x n + 1 ) ⋮ d x n d t = f n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , x n + 1 ) d x n + 1 d t = 1 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx_{1}}{dt}}=f_{1}(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n},\ x_{n+1})\\{\dfrac {dx_{2}}{dt}}=f_{2}(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n},\ x_{n+1})\\\vdots \\{\dfrac {dx_{n}}{dt}}=f_{n}(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n},\ x_{n+1})\\{\dfrac {dx_{n+1}}{dt}}=1\\\end{cases}}} という自励系を得ることができる。独立変数としての t の方を τ と書き換えて、 { d x d τ = f ( t , x ) d t d τ = 1 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {d{\boldsymbol {x}}}{d\tau }}=f(t,\ {\boldsymbol {x}})\\{\dfrac {dt}{d\tau }}=1\end{cases}}} のように表すこともある。 (x1, x2, …, xn) ∈ ℝn の相空間に対して、(x1, x2, …, xn, xn+1) ∈ ℝn × ℝ （あるいは (x1, x2, …, xn, t) ∈ ℝn × ℝ）で張られる 1 次元高い空間を特に拡大相空間と呼ぶ。非自励系をこのように自励系に変換した方が、軌道の時間依存性が無くなり、解の一意性についても見通しが良い。 非自励系は上記のように常に自励系の形に書き換え可能なため、自励系の形の方が一般性が高いといえる。しかし、非自励系には d x n + 1 d t = 1 {\displaystyle {\dfrac {dx_{n+1}}{dt}}=1} の存在によって ( d x 1 d t , d x 2 d t , ⋯ , d x n d t , d x n + 1 d t ) ⊤ = 0 {\displaystyle \left({\dfrac {dx_{1}}{dt}},\ {\dfrac {dx_{2}}{dt}},\cdots ,{\dfrac {dx_{n}}{dt}},\ {\dfrac {dx_{n+1}}{dt}}\right)^{\top }=0} を満たす平衡点が存在しない。非自励系の軌道は、拡大相空間上で t 軸方向へ常に流れ続ける。このため、自励系と非自励系では解析のアプローチを変える必要がある。
※この「自励系への変換」の解説は、「自励系」の解説の一部です。
「自励系への変換」を含む「自励系」の記事については、「自励系」の概要を参照ください。
- 自励系への変換のページへのリンク
