等価原理からの直接的導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/03 19:29 UTC 版)
「一般相対性理論における測地線」の記事における「等価原理からの直接的導出」の解説
物理学者スティーヴン・ワインバーグは、測地線の運動方程式の等価原理からの直接的導出を示した。この導出における最初の一歩は、自由落下座標系 ( X μ {\displaystyle X^{\mu }} ) においてある世界点の近傍では全ての粒子が加速していないと仮定することである。 T ≡ X 0 {\displaystyle T\equiv X^{0}} と定義することにすると、自由落下中には次の方程式が局所的に成り立つと言える。 d 2 X μ d T 2 = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}X^{\mu } \over \mathrm {d} T^{2}}=0} 次の一歩は連鎖律を用いることである。すると、次の方程式を得る。 d X μ d T = d x ν d T ∂ X μ ∂ x ν {\displaystyle {\mathrm {d} X^{\mu } \over \mathrm {d} T}={\mathrm {d} x^{\nu } \over \mathrm {d} T}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}} この両辺を時間について微分すると、さらに次を得る。 d 2 X μ d T 2 = d 2 x ν d T 2 ∂ X μ ∂ x ν + d x ν d T d x α d T ∂ 2 X μ ∂ x ν ∂ x α {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}X^{\mu } \over \mathrm {d} T^{2}}={\mathrm {d} ^{2}x^{\nu } \over \mathrm {d} T^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{\mathrm {d} x^{\nu } \over \mathrm {d} T}{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} T}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}} 前掲の方程式とあわせて、次の方程式が得られる。 d 2 x ν d T 2 ∂ X μ ∂ x ν = − d x ν d T d x α d T ∂ 2 X μ ∂ x ν ∂ x α {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{\nu } \over \mathrm {d} T^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{\mathrm {d} x^{\nu } \over \mathrm {d} T}{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} T}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}} ここで、両辺に次の量をかける。 ∂ x λ ∂ X μ {\displaystyle {\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}} すると、次の方程式が得られる。 d 2 x λ d T 2 = − d x ν d T d x α d T [ ∂ 2 X μ ∂ x ν ∂ x α ∂ x λ ∂ X μ ] {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{\lambda } \over \mathrm {d} T^{2}}=-{\mathrm {d} x^{\nu } \over \mathrm {d} T}{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} T}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]} 以前と同じように、 t ≡ x 0 {\displaystyle t\equiv x^{0}} と定義する。連鎖律を用いて、パラメータ T を消去してパラメータ t を導入すると、以下のようになる。 （局所座標系 X と一般座標系 x の関係を記述している）角括弧の中の項は一般座標系の関数であるから、（座標時をパラメータに用いた）測地線の運動方程式がこの方程式から直ちに得られる。測地線の運動方程式は、平行移動の概念を用いて導出することもできる。
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