確率論・統計学への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/11 01:39 UTC 版)
「シューア補行列」の記事における「確率論・統計学への応用」の解説
確率列ベクトル X および Y はそれぞれ Rn および Rm を動くものとし、ベクトル (X, Y) ∈ Rn+m は共分散が正定値対称行列 Σ := ( A B B ⊤ C ) {\displaystyle \Sigma :={\begin{pmatrix}A&B\\B^{\top }&C\end{pmatrix}}} で与えられる多変量正規分布に従うものとする。ただし、 A ∈ R n × n {\textstyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}} は X の共分散行列、 C ∈ R m × m {\textstyle C\in \mathbb {R} ^{m\times m}} は Y の共分散行列、 B ∈ R n × m {\textstyle B\in \mathbb {R} ^{n\times m}} は X と Y の間の共分散行列である。 このとき、Y が既知であるときの X の条件付き共分散（英語版） Cov(X | Y)は C に関する Σ のシューア補行列によって Cov ( X ∣ Y ) = Σ / C {\displaystyle \operatorname {Cov} (X\mid Y)=\Sigma /C} と与えられる（条件付き期待値は E ( X ∣ Y ) = E ( X ) + B C − 1 ( Y − E ( Y ) ) {\textstyle \operatorname {E} (X\mid Y)=\operatorname {E} (X)+BC^{-1}(Y-\operatorname {E} (Y))} となる）。 上記の如く Σ を（しかし確率ベクトルの共分散としてではなく）標本共分散として与えたならば、ウィッシャート分布に従う。この場合、シューア補行列 Σ/C もまたウィッシャート分布に従う[要出典]。
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