直線回帰

統計学用語辞典

直線回帰（単回帰）

　直線回帰は重回帰分析の最も単純な場合である。


例題：
　「表 1 において，変数 X を用いて，変数 Y を予測する直線回帰式を求めなさい。」

表 1．二変数データ

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
変数 Xi	2.8	3.4	3.6	5.8	7.0	9.5	10.2	12.3	13.2	13.4
変数 Yi	0.6	3.0	0.4	1.5	15.0	13.4	7.6	19.8	18.3	18.9

計算手順：

1. 2 変数 X，Y の観察値が n 組あるとする。
   例題では，n = 10，( X1 ，Y1 ) = ( 2.8, 0.6 )，... ，( X10 ，Y10 ) = ( 13.4, 18.9 )
   
2. 直線の傾き a と切片 b は，次式で求めることができる。
   　　
   　　
   　　例題では，以下のように計算を進める。 　　
   1. まず最初に，変数 X と変数 Y の平均値 と を求める。
      　　 = ( 2.8 + 3.4 + … + 13.4 ) / 10 = 81.2 / 10 = 8.12
      　　 = ( 0.6 + 3.0 + … + 18.9 ) / 10 = 98.5 / 10 = 9.85
      　　
   2. 次に，a の計算式の分子になる「変数 X と変数 Y の共変動」を求める。
      　　 変数 X と変数 Y の共変動 = { ( 2.8 - 8.12) × ( 0.6 - 9.85 ) + … + ( 13.4 - 8.12) × ( 18.9 - 9.85 ) } = 270.38
      　　
   3. 次に，a の計算式の分母になる「変数 X の変動」を求める。
      　　 変数 X の変動 = { ( 2.8 - 8.12)² + … + ( 13.4 - 8.12)² } = 155.036
      　　
   4. 以上から，a = 270.38 / 155.036 ≒ 1.744 を得る。
      　　
   5. また，b = 9.85 - 1.744 × 8.12 ≒ -4.311 を得る。
      　　
   6. よって，求める直線回帰式は
      　　 = 1.744 X - 4.311 である。
      　　 図で示すと以下の通り。
      

      図 1．直線回帰式