直列接続回路と並列接続回路
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/11 17:03 UTC 版)
「等価回路」の記事における「直列接続回路と並列接続回路」の解説
電気抵抗、インダクタンス、静電容量などの受動素子（インピーダンス素子）を直列、あるいは、並列に接続した回路の場合、オームの法則、キルヒホッフの法則により、素子の接続構成を簡略化することが可能である。（以下、インピーダンス素子を Z {\displaystyle Z} 、電源電圧を E ( = E 0 sin ω t ) {\displaystyle E(=E_{0}\sin \omega t)} 、電流を I {\displaystyle I} 、素子間電圧を V {\displaystyle V} とする） 直列接続回路 右図(a-1)は、2つの素子、 Z 1 {\displaystyle Z_{1}} 、 Z 2 {\displaystyle Z_{2}} を直列に接続にした例である。 このとき、電流 I {\displaystyle I} の経路は1つのみであり、各素子の両端電圧は V 1 {\displaystyle V_{1}} 、 V 2 {\displaystyle V_{2}} である。ここでは、 V = V 1 + V 2 = I Z 1 + I Z 2 = I ( Z 1 + Z 2 ) {\displaystyle V=V_{1}+V_{2}=IZ_{1}+IZ_{2}=I(Z_{1}+Z_{2})} になる。 E = V {\displaystyle E=V} であるから、電源 E {\displaystyle E} からみたインピーダンス Z {\displaystyle Z} は、 Z = V I {\displaystyle Z={\frac {V}{I}}} なので、当初の結果より、 V = I Z = I ( Z 1 + Z 2 ) {\displaystyle V=IZ=I(Z_{1}+Z_{2})} が得られる。つまり、この Z 1 {\displaystyle Z_{1}} と Z 2 {\displaystyle Z_{2}} を直列接続した回路の合成インピーダンス Z S {\displaystyle Z_{S}} は、 Z S = Z 1 + Z 2 {\displaystyle Z_{S}=Z_{1}+Z_{2}} であり、右図(a-2)の等価回路に置き換えられる。 この結果を拡張すれば、任意数のインピーダンス素子を直列に N 個接続した場合の合成インピーダンス Z {\displaystyle Z} は、 Z = ∑ k = 1 N Z k {\displaystyle Z=\sum _{k=1}^{N}Z_{k}} で求められる。 並列接続回路 右図(b-1)は、2つの素子、 Z 1 {\displaystyle Z_{1}} 、 Z 2 {\displaystyle Z_{2}} を並列に接続にした例である。 このとき、電流 I {\displaystyle I} の経路は各素子に分かれ I 1 {\displaystyle I_{1}} 、 I 2 {\displaystyle I_{2}} になるが、各素子の両端電圧は電源電圧と同一の V = E {\displaystyle V=E} である。ここで、各電流は、 { I 1 = V Z 1 I 2 = V Z 2 {\displaystyle {\begin{cases}I_{1}={\frac {V}{Z_{1}}}\\I_{2}={\frac {V}{Z_{2}}}\end{cases}}} であるから、 I = I 1 + I 2 = V ( 1 Z 1 + 1 Z 2 ) {\displaystyle I=I_{1}+I_{2}=V({\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}})} になる。電源 E {\displaystyle E} の電流 I {\displaystyle I} は、合成したインピーダンスを Z P {\displaystyle Z_{P}} とすると、 I = E Z P {\displaystyle I={\frac {E}{Z_{P}}}} であり、 V = E {\displaystyle V=E} から、 I = E Z P = V Z P = E ( 1 Z 1 + 1 Z 2 ) {\displaystyle I={\frac {E}{Z_{P}}}={\frac {V}{Z_{P}}}=E({\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}})} となり、 1 Z P = 1 Z 1 + 1 Z 2 {\displaystyle {\frac {1}{Z_{P}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}} である。 Z P {\displaystyle Z_{P}} で整理すると、 Z P = 1 1 Z 1 + 1 Z 2 = 1 Z 1 + Z 2 Z 1 Z 2 = Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2 {\displaystyle Z_{P}={\frac {1}{{\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}}}={\frac {1}{\frac {Z_{1}+Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}}}}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}} となって、右図(b-2)の等価回路に置き換えられる。 この結果を拡張すれば、任意数のインピーダンス素子を並列に N 個接続した場合の合成インピーダンス Z {\displaystyle Z} は、 1 Z = ∑ k = 1 N 1 Z k {\displaystyle {\frac {1}{Z}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{Z_{k}}}} で求められる。 直列・並列接続混合回路 直列接続と並列接続が混合した回路では、上記の直列接続回路・並列接続回路による簡略化を用いればよい。 右図(c-1)は、3つの素子 Z 1 {\displaystyle Z_{1}} 、 Z 2 {\displaystyle Z_{2}} 、 Z 3 {\displaystyle Z_{3}} を直列並列接続した例である。 まず、並列接続されている Z 2 {\displaystyle Z_{2}} 、 Z 3 {\displaystyle Z_{3}} を合成インピーダンス Z P {\displaystyle Z_{P}} に置き換える。このとき Z P {\displaystyle Z_{P}} は、 1 Z P = 1 Z 2 + 1 Z 3 {\displaystyle {\frac {1}{Z_{P}}}={\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{3}}}} であり、上述の通り、 Z P = Z 2 Z 3 Z 2 + Z 3 {\displaystyle Z_{P}={\frac {Z_{2}Z_{3}}{Z_{2}+Z_{3}}}} となって、右図(c-2)に変換される。 次に、求めた Z P {\displaystyle Z_{P}} を用いて Z 1 {\displaystyle Z_{1}} との直列接続の合成インピーダンス Z {\displaystyle Z} を求めればよい。 Z = Z 1 + Z P = Z 1 + Z 2 Z 3 Z 2 + Z 3 {\displaystyle Z=Z_{1}+Z_{P}=Z_{1}+{\frac {Z_{2}Z_{3}}{Z_{2}+Z_{3}}}} となるので、右図(c-3)の等価回路に置き換えられる。 なお、上記いずれの場合においても、各インピーダンス素子が電気抵抗 R {\displaystyle R} 、インダクタンス L {\displaystyle L} 、静電容量 C {\displaystyle C} であれば、それぞれ、 R {\displaystyle R} 、 j ω L {\displaystyle j\omega L} 、 1 j ω C {\displaystyle {\frac {1}{j\omega C}}} として計算すればよい。
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