球ベッセル関数・球ノイマン関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 02:20 UTC 版)
「ベッセル関数」の記事における「球ベッセル関数・球ノイマン関数」の解説
第1種及び第2種のベッセル関数から、球ベッセル関数(spherical Bessel functions)と球ノイマン関数(spherical Neumann functions)がそれぞれ以下のように定義される。 j α ( x ) = ( π 2 x ) 1 / 2 J α + 1 / 2 ( x ) {\displaystyle j_{\alpha }(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}J_{\alpha +1/2}(x)} n α ( x ) = ( π 2 x ) 1 / 2 N α + 1 / 2 ( x ) {\displaystyle n_{\alpha }(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}N_{\alpha +1/2}(x)} これらの関数は、球ベッセル微分方程式 d 2 y d x 2 + 2 x d y d x + [ 1 − α ( α + 1 ) x 2 ] y = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dy}{dx}}+\left[1-{\frac {\alpha (\alpha +1)}{x^{2}}}\right]y=0} に対する2つの線形独立な解を与えている。 量子力学における3次元自由粒子のシュレーディンガー方程式の動径方向の解のうち、正則なものは球ベッセル関数で表され、正則でないものは球ノイマン関数で表される。 また3次元井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式における、ポテンシャル内部の動径方向の解のうち、原点で発散しないものは球ベッセル関数で表され、原点で発散するものは球ノイマン関数で表される。
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