温度ゼロの極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/26 13:03 UTC 版)
極限 β → ∞ {\displaystyle \beta \rightarrow \infty } での松原振動数の和は、虚数振動数の虚軸についての積分に等しい 1 β ∑ i ω = ∫ − i ∞ i ∞ d ( i ω ) 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi }}} いくつかの積分は収束しない。 それらは振動数カットオフ Ω {\displaystyle \Omega } を導入し、 Ω → ∞ {\displaystyle \Omega \rightarrow \infty } の極限をとる前に積分から発散部分( Ω {\displaystyle \Omega } -依存)を差し引いて繰り込む必要がある。 例えば自由エネルギーは、対数の積分によって得られる。 η lim Ω → ∞ [ ∫ − i Ω i Ω d ( i ω ) 2 π ( ln ( − i ω + ξ ) − π ξ 2 Ω ) − Ω π ( ln Ω − 1 ) ] = { 0 ξ ≥ 0 , − η ξ ξ < 0 , {\displaystyle \eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\left[\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi }}\left(\ln(-i\omega +\xi )-{\frac {\pi \xi }{2\Omega }}\right)-{\frac {\Omega }{\pi }}(\ln \Omega -1)\right]=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta \xi &\xi <0,\end{array}}\right.} η lim Ω → ∞ ∫ − i Ω i Ω d ( i ω ) 2 π ( 1 − i ω + ξ − π 2 Ω ) = { 0 ξ ≥ 0 , − η ξ < 0 , {\displaystyle \eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi }}\left({\frac {1}{-i\omega +\xi }}-{\frac {\pi }{2\Omega }}\right)=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta &\xi <0,\end{array}}\right.} これは温度ゼロでの階段関数のふるまいを示している。
※この「温度ゼロの極限」の解説は、「松原振動数」の解説の一部です。
「温度ゼロの極限」を含む「松原振動数」の記事については、「松原振動数」の概要を参照ください。
- 温度ゼロの極限のページへのリンク
