整合性を持った接続
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 04:18 UTC 版)
接続は、ある G-標構から他の G-標構へ常に写像するような（G-バンドルに）付帯する平行移動により与えられる E の G-バンドルの構造（群）と整合性（英語版）(compatible)を持っている。形式的には、曲線 γ に沿って、行列 gαβ（t に依存するかもしれないが）について、次の式が局所的に（つまり、t の充分小さな値で）保たれねばならない。 Γ ( γ ) 0 t e α ( γ ( 0 ) ) = ∑ β e β ( γ ( t ) ) g α β ( t ) {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)} ∇ γ ˙ ( 0 ) e α = ∑ β e β ω α β ( γ ˙ ( 0 ) ) {\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))} であることが分かる。ここに係数 ωαβ はリ―群 G のリー代数 g である。 この観察から、 D e α = ∑ β e β ⊗ ω α β ( e ) {\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )} により定義される接続形式 ωαβ は、1-形式の行列 ωαβ(e) が g に値を持つとき、構造（群）G と整合性を持っているという。 さらに、整合性を持つ接続の接続形式は、g に値を持つ 2-形式である。
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