振り子
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v：速度ベクトル、a：加速度ベクトル、θ：振り子角度
振り子（ふりこ、英: pendulum）とは、空間固定点（支点）から吊るされ、重力の作用により、揺れを繰り返す物体である[1]。支点での摩擦や空気抵抗の無い、振り子にとって理想の環境では永久に揺れ続けることが可能。
時計や地震計、メトロノームや車体傾斜式車両などに用いられ、英語の pendulum(振り子) は ラテン語の「pendo」を語源に持つと考えられる。（『Lexicon Latino－japonicum』田中秀央）
振り子についての最初の研究記録はアリストテレス、ギリシャ人の哲学者による。さらに 17世紀、ガリレオにはじまる物理学者らよる観測の結果、等時性が発見され時計に使用されるようになった。
同じように等時性を示す装置として、ばね振り子やねじれ振り子などがある。
基本原理
振り子は、重りが左右いずれかの位置にあるとき位置エネルギーを持つ。重力により下に引かれると加速し運動エネルギーとなり、一番下で最高速になる。反対側に揺れるとき減速しつつ再度位置エネルギーとして蓄積され一旦停止する。以後これを繰り返す。
揺れの幅が十分に小さい場合、振り子の揺れの周期は、重りの重さや振幅に関係なく一定であるとみなすことができる。単振り子の場合、周期はひもの重量を考慮しなければ支点から重りの重心までの距離にのみ影響される。これを振り子の等時性[2]という。柱時計などにしばしば見られる物理振り子の場合、剛体の振動は慣性モーメント[3]と剛体全体の重量の影響を受けるため、支点から剛体の重心までの距離とはかならずしも一致しない。物理振り子の振り子の長さは「等価振り子の長さ」と呼ばれる。
一方で揺れの幅が「十分に小さい」とは言えない場合、周期は次第に大きくなることは古くから経験的に知られており、これはしばしば「等時性の破れ[4]」と表現される。
単振り子
単振り子は、振り子の運動を考えるためのモデルである。重さが無く伸び縮みしない棒の一端を固定し、他端に質点を取り付け、ひとつの鉛直面内のみを重力の作用で振動すると考える[1]。（振り子が一鉛直面内ではなく球面上を動く場合は「球面振り子」[5]という）。振幅が小さければおもりの運動は単振動とみなすことができ、周期 T は、
長さ 
振れ（振り子の初期角:θ0）が大きいほど周期が長くなっている。
ガリレイの実験報告にも関わらず、単振り子はその振れ幅が大きくなるにつれ振動周期が大きくなる事は経験的に知られており、時計など工学的に利用するさいの障害となっていた。この分野で数学的な研究を行った最初の人物と見られているのがホイヘンスであり1656年頃から59年頃にサイクロイド曲線を利用することで等時性が確保できることに到達した。彼は微分積分学を開発したライプニッツの師にあたり、ホイヘンスのサイクロイド振り子とライプニッツの微積分学がどのような関わりであったかは興味深い[7]。
等時性の破れを主眼に置き、式の近似を用いない解法を考える。以下では 
物理振り子の周期T は次の式で表される[10]。ここでl は等価振り子の長さ、g は重力加速度である。
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振幅の異なる5つのサイクロイド振り子 →詳細は「等時曲線」を参照単振り子の等時性は先述の通り振幅が大きい場合に破れてしまう。そこで、振幅に依らず厳密に等しい時間で振動させるためには、おもりがどのような曲線に沿えばよいかを問う問題を等時曲線問題と呼ぶ。クリスティアーン・ホイヘンスによりこの問題の答えはサイクロイドであることが導かれた。おもりがサイクロイド曲線に沿うよう作られた振り子は「サイクロイド振り子」と称され、周期 T は振幅に依存することなく、正確に
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