微分可能な関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/26 03:09 UTC 版)
n 次元可微分多様体 M 上の実数値関数 f が点 p ∈ M において微分可能 (differentiable) であるとは、p のまわりで定義された任意の1つの座標チャートにおいて微分可能であることをいう。より正確に言えば、(U, φ) がチャートで U を p を含む M の 開集合で φ: U → Rn をチャートを定義している写像とすると、f が微分可能であることと f ∘ ϕ − 1 : ϕ ( U ) ⊂ R n → R {\displaystyle f\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\subset {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }} が φ(p) において微分可能であることが同値である。一般に利用可能なチャートはたくさんあるが、微分可能性の定義は p でのチャートの取り方に依らない。チェーンルールをチャート間の変換関数に適用すると f が p での任意の特定のチャートで微分可能であれば p でのすべてのチャートで微分可能であることが従う。類似の考察を Ck 級関数、滑らかな関数、解析的関数、の定義に使える。
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