弧 (射影幾何学)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/14 07:44 UTC 版)
Jump to navigation Jump to search有限射影幾何学における弧 (arc) とは d 次元の有限射影空間上の、どのような d + 1 個の点も決して同一超平面（余次元1、つまり d - 1 次元の部分空間）上にない点の集合である。
d + 1 をさらに小さくすることはできない。d 次元空間において、どのような d 個の点をとってきても、そのうちの d - 1 個の点が同一の d - 2 次元の部分空間に属さない限り、それらの d 個の点を通る d - 1 次元超平面が一意に定まる。
有限射影平面における弧
特に、有限射影平面における弧とは有限射影平面上の、どの3点も同一直線状にない点の集合である。そのような k 個の点の集合を特に k-弧という(Dembowski 1955, Section 3.2)。
k-弧に対して、そのうちのちょうど2点を通る直線を割線 (secant)、ちょうど1点を通る直線を接線 (tangent)、どの点も通らない直線を外線 (exterior line)という。
位数 n の有限射影平面において弧の点の個数は n + 2 以下である。というのは、弧の任意の1点 P をとると、P を通る n + 1 本の直線のそれぞれについて、弧に属する点は P の他にあっても1点しか存在しないからである。 位数 n の有限射影平面における k-弧の割線、接線、外線の数はそれぞれ 本である。
(n + 2)-弧が存在するとき n は偶数でなければならない。というのは (n + 2)-弧 C の任意の1点 P をとると、上と同様にして、 P を通る n + 1 本の直線のそれぞれについて、C と交わる点が P 以外にちょうど1つずつ存在する。したがって C の1点を通る直線は C とちょうど2点で交わる。次に C に属さない点 Q を1つとる。 Q を通る直線で C と交わるもの l1, l2, ..., lm を考える。上記の理由から、各 li と C の交点はちょうど2つである。 C 上の各点について、その点と Q を通る直線はただ1つ存在する。よって、n + 2 = 2m が成り立つので、 n = 2m - 2 は偶数でなければならない。
位数 n の有限射影平面において (n + 1)-弧をオーバル、 (n + 2)-弧をハイパーオーバルという。オーバルの各点はちょうど1つの接線をもつ。n が偶数のとき、これらの接線は1点で交わり、その1点を加えればハイパーオーバルを構成できる。
位数 n （n は素数の冪とする）の有限体上の射影平面上の2次曲線はオーバルとなる。さらに、奇数位数の有限体上の射影平面上のオーバルはそのようなものに限る（セグレの定理、(Segre 1955)）。
References
- Dembowski, Peter (1997), Finite geometries (reprint of the 1968 edition), Springer Verlag, doi:10.1007/978-3-642-62012-6, ISBN 978-3-642-62012-6, MR 1434062
「弧 (射影幾何学)」の例文・使い方・用例・文例
- 噴水から飛び出た水が弧を描いた
- にじが草原の上に弧を描いていた
- ロッドが満月に弧を描きます
- 括弧内の数値は単なる情報です。
- 要素ＣとＤは弧の生成には無関係なので排除することができる。
- 弧を描いて飛ぶ[動く].
- 虹(にじ)は町にアーチ形の弧を描いた.
- 【数学】 余角[弧].
- 弦 AC は弧 ABC に対する.
- ボールが弧を描いて飛んでいった.
- その岬(みさき)は弧を描いて南東に突出している.
- 括弧を掛ける
- 括弧の中の言葉
- 弧光灯
- ひじを曲げて横から打つ、短く弧を描くパンチ
- 弧を描く動き
- 私は括弧でこれらの単語を引きたたせる
- この意見を括弧でくくってください
- 制限されたスペースにおいて、一連の後ろおよび前の円弧に動いて乗り物を向きを変える行為
- バックスピンを伴って高い弧を描くように（ゴルフボールを）打つ
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