小平次元による分類
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/20 08:08 UTC 版)
詳細は「エンリケス・小平の分類」を参照 次元が 1 の場合には、（位相的な）種数だけによる双有理な分類ができたが、次元が 2 の場合は、位相的な種数だけでは双有理的な区別ができないので、算術種数 p a {\displaystyle p_{a}} と 幾何種数 p g {\displaystyle p_{g}} の差異が重要なことがわかる。従って、曲面の不正則数が代数多様体の双有理分類のために導入する。結果をまとめると下記のようになる。（詳細の曲面の各々の種類については、各々のリダイレクション先を参照） 代数曲面の例は下記のようになる（κ は小平次元である）。 κ = −∞ : 射影平面（英語版）(projective plane)、P3 の中の 2次曲面、3次曲面（英語版）(cubic surface)、ベロネーゼ曲面（英語版）(Veronese surface)、デル・ペッゾ曲面（英語版）(del Pezzo surface)、線織曲面（英語版）(ruled surface) κ = 0 : K3曲面、アーベル曲面、エンリケス曲面、超楕円曲面 κ = 1 : 楕円曲面 κ = 2 : 一般型代数曲面 さらに例があるので、代数曲面のリスト（英語版）を参照。 最初にある 5つの例は、実際、双有理同値である。すなわち、例えば、3次曲面は函数体が複素平面（英語版）(projective plane)の函数体に同型であり、2つの変数の有理函数となっている。2つの曲線のカルテシアン積（直積）もまたこの例となる。
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