エンリケス曲面とは？わかりやすく解説

数学では、エンリケス曲面（エンリケスへいめん、英: Enriques surfaces）は、不正則数 $q = 0$ で標準ラインバンドル $K$ が非自明であるが、二乗すると自明となるような代数曲面である。エンリケス曲面は、みな射影的であり（従って複素数体上ではケーラー的であり）、種数0の楕円曲面である。標数が2ではない体上では、エンリケス曲面はK3曲面を不動点のない位数2の群で割った商であり、その理論は代数的K3曲面の理論に似ている。エンリケス曲面は最初に Enriques (1896)で詳細に研究された。 Reye (1882)で、エンリケスの研究に先立ち導入されたライエ合同（Reye congruences）のいくつかもまたエンリケス曲面の例である。

エンリケス曲面は他の体上でも定義される。標数が2でない体上で、Artin (1960) は理論が複素数上の理論と同じであることが示された。標数が2の体上では、定義が変更され、2つの新しい族が存在し、特異エンリケス曲面、超特異エンリケス曲面と呼ばれ、Bombieri & Mumford (1976) に記載されている。

不変量

$n$ が偶数のときは、多重種数 $P n$ が1で、 $n$ が奇数のときは、0である。基本群は位数が2である。第二コホモロジー群 $H 2 (X, Z)$ は、次元10の唯一の群のユニモジュラ格子（英語版） $II 1,9$ と符号-8と位数2の群の和に同型である。

ダイアモンド：

          1
      0       0
  0      10       0
      0       0
          1

マーク付きのエンリケス曲面は、連結な 10-次元の族を形成し、Kondo (1994) では有理的であることが示された。

標数 2 の場合

標数が 2 の場合は、エンリケス曲面の新しい族が存在し、準エンリケス曲面（quasi Enriques surfaces）、あるいは、非古典的エンリケス曲面（non-classical Enriques surfaces）、あるいは、（超）特異エンリケス曲面（ (super) singular Enriques surfaces）と呼ばれることもある。標数 2 の場合のエンリケス曲面の定義は変形されていて、極小曲面の標準クラス $K$ が 0 に数値的に同値で、第二ベッチ数が 10 であると定義される。（2 以外の標数の定義は、この定義は通常の定義に同値である。）エンリケス曲面には 3つの族があることになる。

古典的： $dim(H 1 (O)) = 0$ 、これは $2K = 0$ であるが $K$ は 0 でなく、 $Pic τ$ は $Z/2Z$ であることを意味する。そのような曲面は群スキーム $μ 2$ による被約な特異ゴレンシュタイン曲面（Gorenstein surface）の商である。
特異： $dim(H 1 (O)) = 1$ で、フロベニウス自己準同型が非自明に作用している。このことは $K = 0$ であり、 $Pic τ$ は $μ 2$ であることを意味する。そのような曲面は、群スキーム $Z/2Z$ によるK3曲面の商である。
超特異： $dim(H 1 (O)) = 1$ でフロベニウス自己準同型が自明に作用している。これは、 $K = 0$ であり、 $Pic τ$ は $α 2$ であることを意味する。そのような曲面は、群スキーム $α 2$ による被約な特異ゴレンシュタイン曲面の商である。

全てのエンリケス曲面は楕円的か準楕円的である。

例

ライエ合同（Reye congruence）は、 $P 3$ の中の 4次曲面の与えられた 3-次元線型系の内の少なくとも 2つの 4次曲面を持つ直線の族である。線型系が生成的（generic）であれば、ライエ合同はエンリケス曲面である。これらは Reye (1882) により発見され、エンリケス曲面の最も初期の例かもしれない。

4面体の縁に沿った二重線を持つ 3次元射影空間の中の 6次曲面を、次のようにとる。

次数 2 の一般的な同次多項式に対し、

w^{2}x^{2}y^{2}+w^{2}x^{2}z^{2}+w^{2}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}+wxyzQ(w,x,y,z)=0

すると、この正規化はエンリケス曲面である。これは、Enriques (1896)により発見された。

不動点を持つ対合によるK3曲面の商はエンリケス曲面であり、標数が 2 よりも大きな場合の全てのエンリケス曲面は、この方法で構成することができる。例えば、 $S$ を K3曲面 $w 4 + x 4 + y 4 + z 4 = 0$ で、 $T$ を $(w, x, y, z)$ を $(w, ix, - y, - iz)$ とする位数 4 の自己同型とすると、 $T 2$ は 2つの不動点を持つ。これらの 2つの点をブローアップし、 $T 2$ による商をとると、不動点のない対合 $T$ を持つK3曲面が得られ、これの $T$ による商はエンリケス曲面である。別のエンリケス曲面は、元の曲面を位数 4 の自己同型 $T$ による商をとり、商の 2つの特異点を解消することにより得ることができる。さらに別な例は、 $P i (u, v, w) + Q i (x, y, z) = 0$ の形の 3つの 4次曲面の交叉をとり、対合 $(u : v : w : x : y : z)$ から $(- x :- y : - z : u : v : w)$ による商を取る。生成的（generic）な 4次曲面に対し、この対合はK3曲面の不動点を持たない対合となるので、商はエンリケス曲面である。

参照項目

代数曲面のリスト（英語版）
エンリケス・小平の分類

参考文献

Artin, Michael (1960), On Enriques surfaces, PhD thesis, Harvard
Compact Complex Surfaces by Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven ISBN 3-540-00832-2 This is the standard reference book for compact complex surfaces.
Bombieri, Enrico; Mumford, David (1976), “Enriques' classification of surfaces in char. p. III.”, Inventiones Mathematicae 35 (1): 197–232, doi:10.1007/BF01390138, ISSN 0020-9910, MR 0491720
Cossec, François R.; Dolgachev, Igor V. (1989), Enriques surfaces. I, Progress in Mathematics, 76, Boston: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3417-9, MR 986969
Enriques, Federigo (1896), “Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche.”, Mem. Soc. Ital. delle Scienze 10: 1–81
Enriques, Federigo (1949), Le Superficie Algebriche, Nicola Zanichelli, Bologna, MR 0031770
Kondo, Shigeyuki (1994), “The rationality of the moduli space of Enriques surfaces”, Compositio Math. 91 (2): 159–173
Reye, T. (1882), Die Geometrie der Lage, Leipzig

外部リンク

Enriques surfaces

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