変換の極
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
メビウス変換 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} によって無限遠点 ∞ へ移される点 z ∞ = − d c {\displaystyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}} は変換 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} の極 (pole) と呼ばれる。また、無限遠点 ∞ が H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} によって移る点 Z ∞ = a c {\displaystyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}} をしばしば逆極 (inverse pole) と呼ぶ。メビウス変換がひとつ与えられると、この二種類の極の中点は必ずその変換のふたつの不動点の中点にもなっており、したがって γ 1 + γ 2 = z ∞ + Z ∞ {\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }} なる関係式が成立する。これらよっつの点を頂点として平行四辺形が形成され、それをしばしばメビウス変換の特性平行四辺形 (characteristic parallelogram) などと呼び表す。 メビウス変換 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} をそのふたつの不動点 γ1, γ2 と極 z∞ を指定することによって特定することもできる。実際、行列 H = ( Z ∞ − γ 1 γ 2 1 − z ∞ ) , Z ∞ = γ 1 + γ 2 − z ∞ {\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}},\quad Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }} で与えられる変換は、γ1, γ2 を不動点に持ち、z∞ を極とする変換になる。このようにすれば、不動点 γ1, γ2 が与えられたとき、乗数 k と極 z∞ の間の変換則として z ∞ = k γ 1 − γ 2 1 − k , {\displaystyle z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}},} k = γ 2 − z ∞ γ 1 − z ∞ = Z ∞ − γ 1 Z ∞ − γ 2 = a − c γ 1 a − c γ 2 {\displaystyle k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}}}} が得られる。これを成分を用いて書き下せば、 k = ( a + d ) + ( a − d ) 2 + 4 b c ( a + d ) − ( a − d ) 2 + 4 b c {\displaystyle k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}} となるが、この最後の式はメビウス変換を表す行列 H = ( a b c d ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} の固有値比 λ1/λ2（どちらの固有値を分母にするかで、それらの比は互いに逆数の関係にあるふたつを考えることができるが、そのうちのひとつ）に一致している（先の特性定数に関する節における議論と比較せよ）。実際、この行列の特性多項式は det ( λ I 2 − H ) = λ 2 − ( tr H ) λ + det H = λ 2 − ( a + d ) λ + ( a d − b c ) {\displaystyle \det(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})\lambda +\det {\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)} となり、これは λ i = ( a + d ) ± ( a − d ) 2 + 4 b c 2 = ( a + d ) ± ( a + d ) 2 − 4 ( a d − b c ) 2 = c γ i + d {\displaystyle \lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}=c\gamma _{i}+d} を根に持つ。
※この「変換の極」の解説は、「メビウス変換」の解説の一部です。
「変換の極」を含む「メビウス変換」の記事については、「メビウス変換」の概要を参照ください。
- 変換の極のページへのリンク
