場の関係としてのオームの法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 04:20 UTC 版)
「電気伝導率」の記事における「場の関係としてのオームの法則」の解説
電気伝導率を用いることでオームの法則を場（位置ベクトル r の関数）の関係式として表現することができる。図2のように r の周りに、側面が E(r) に平行な無限小円柱を考える。このときの抵抗内の点 r の電気伝導 σ(r)、電場の強さを E(r)、電流密度を j(r) とすると場の関係式としてのオームの法則は、 j ( r ) = σ ( r ) E ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}})=\sigma ({\boldsymbol {r}}){\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})} …(1) と表すことができる。式(1)は図2の無限小円柱の底面間の電位差と断面を流れる電流によって導出することができる。無限小円柱の断面積をdA、高さを dl とすると、底面間の電位差 dV は d V = E ( r ) d l {\displaystyle \mathrm {d} V=E({\boldsymbol {r}})\mathrm {d} l} …(2) 断面 dA を流れる電流 dI は d I = j ( r ) d A {\displaystyle \mathrm {d} I=j({\boldsymbol {r}})\mathrm {d} A} …(3) である。この円柱の抵抗は（抵抗率は定義より ρ = 1/σ であるから） R = 1 σ ( r ) × d l d A {\displaystyle R={\frac {1}{\sigma ({\boldsymbol {r}})}}\times {\frac {\mathrm {d} l}{\mathrm {d} A}}} …(4) である。ここでオームの法則 d I = d V R {\displaystyle \mathrm {d} I={\frac {\mathrm {d} V}{R}}} …(5) の両辺に式(2)〜(4)を代入すると、 j ( r ) d A = E ( r ) d l d l σ ( r ) d A {\displaystyle j({\boldsymbol {r}})\mathrm {d} A={\frac {E({\boldsymbol {r}})\mathrm {d} l}{\frac {\mathrm {d} l}{\sigma ({\boldsymbol {r}})\mathrm {d} A}}}} …(6) よって j ( r ) = σ ( r ) E ( r ) {\displaystyle j({\boldsymbol {r}})=\sigma ({\boldsymbol {r}})E({\boldsymbol {r}})} …(7) と導出できる。向きを含めて表すと式(1)になる。
※この「場の関係としてのオームの法則」の解説は、「電気伝導率」の解説の一部です。
「場の関係としてのオームの法則」を含む「電気伝導率」の記事については、「電気伝導率」の概要を参照ください。
- 場の関係としてのオームの法則のページへのリンク
