基本計量テンソルの行列式による表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 02:12 UTC 版)
「クリストッフェル記号」の記事における「基本計量テンソルの行列式による表示」の解説
n 次元リーマン多様体の基本計量テンソル gij は n × nの正方行列であると見なせることからその行列式 g g = det ( g i j ) = | g 11 g 12 ⋯ g 21 g 22 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ | {\displaystyle g=\det(g_{ij})=\left|{\begin{array}{ccc}g_{11}&g_{12}&\cdots \\g_{21}&g_{22}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right|} を定義することができる。ここで、gij の余因子行列を Gij とし、g を xk で偏微分すると ∂ g ∂ x k = ∂ g ∂ g i j ∂ g i j ∂ x k = G i j ∂ g i j ∂ x k {\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=G_{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}} となる。さらに余因子行列を行列式で割ったものは逆行列となるが、それは反変版の基本計量テンソルに他ならない。つまり、Gij = ggij。よって ∂ g ∂ x k = g g i j ∂ g i j ∂ x k = g g i j ( g i a { a j k } + g a j { a i k } ) = g ( δ a j { a j k } + δ a i { a i k } ) = g ( { a a k } + { a a k } ) = 2 g { a a k } {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}&=gg^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=gg^{ij}\left(g_{ia}\left\{{{a} \atop {j\;k}}\right\}+g_{aj}\left\{{{a} \atop {i\;k}}\right\}\right)\\&=g\left(\delta _{a}^{j}\left\{{{a} \atop {j\;k}}\right\}+\delta _{a}^{i}\left\{{{a} \atop {i\;k}}\right\}\right)=g\left(\left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}+\left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}\right)\\&=2g\left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}\end{aligned}}} よって { a a k } = { a k a } = 1 2 1 g ∂ g ∂ x k = ∂ log g ∂ x k = 1 g ∂ g ∂ x k {\displaystyle \left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}=\left\{{{a} \atop {k\;a}}\right\}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{g}}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial \log {\sqrt {g}}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}}{\partial x^{k}}}} が得られる。
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