∂g/∂xk = 0 のときの表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:11 UTC 版)
「リーマン曲率テンソル」の記事における「∂g/∂xk = 0 のときの表示」の解説
リッチテンソルの定義より R j i = ∑ a R a j i a = ∑ a ( ∂ { a j i } ∂ x a − ∂ { a a i } ∂ x j + ∑ b { a a b } { b j i } − ∑ b { a j b } { b a i } ) = ∑ a ( ∂ { a j i } ∂ x a − ∑ b { a j b } { b a i } ) + ∑ a ( − ∂ { a a i } ∂ x j + ∑ b { a a b } { b j i } ) {\displaystyle {\begin{aligned}R_{ji}&=\sum _{a}R_{aji}{}^{a}=\sum _{a}\left({\frac {\partial \left\{{{a} \atop {ji}}\right\}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial \left\{{{a} \atop {ai}}\right\}}{\partial x^{j}}}+\sum _{b}\left\{{{a} \atop {ab}}\right\}\left\{{{b} \atop {ji}}\right\}-\sum _{b}\left\{{{a} \atop {jb}}\right\}\left\{{{b} \atop {ai}}\right\}\right)\\&=\sum _{a}\left({\frac {\partial \left\{{{a} \atop {ji}}\right\}}{\partial x^{a}}}-\sum _{b}\left\{{{a} \atop {jb}}\right\}\left\{{{b} \atop {ai}}\right\}\right)+\sum _{a}\left(-{\frac {\partial \left\{{{a} \atop {ai}}\right\}}{\partial x^{j}}}+\sum _{b}\left\{{{a} \atop {ab}}\right\}\left\{{{b} \atop {ji}}\right\}\right)\end{aligned}}} ここで、 A j i = ∑ a ( ∂ { a j i } ∂ x a − ∑ b { a j b } { b a i } ) , B j i = ∑ a ( − ∂ { a a i } ∂ x j + ∑ b { a a b } { b j i } ) {\displaystyle A_{ji}=\sum _{a}\left({\frac {\partial \left\{{{a} \atop {ji}}\right\}}{\partial x^{a}}}-\sum _{b}\left\{{{a} \atop {jb}}\right\}\left\{{{b} \atop {ai}}\right\}\right),\;\;B_{ji}=\sum _{a}\left(-{\frac {\partial \left\{{{a} \atop {ai}}\right\}}{\partial x^{j}}}+\sum _{b}\left\{{{a} \atop {ab}}\right\}\left\{{{b} \atop {ji}}\right\}\right)} と置くと、当然 R j i = A j i + B j i {\displaystyle R_{ji}=A_{ji}+B_{ji}} となるが、Bj i について、g = det(ga b) とすると ∑ a { a a k } = ∂ log g ∂ x k {\displaystyle \sum _{a}\left\{{{a} \atop {ak}}\right\}={\frac {\partial \log {\sqrt {g}}}{\partial x^{k}}}} 「クリストッフェル記号#基本計量テンソルの行列式による表示」も参照 であることから、 B j i = − ∂ 2 log g ∂ x j ∂ x i + ∑ b ∂ log g ∂ x b { b j i } {\displaystyle B_{ji}=-{\frac {\partial ^{2}\log {\sqrt {g}}}{\partial x^{j}\partial x^{i}}}+\sum _{b}{\frac {\partial \log {\sqrt {g}}}{\partial x^{b}}}\left\{{{b} \atop {ji}}\right\}} を得る。したがって、 ∂ g ∂ x k = 0 {\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}=0} のときは、Bj i = 0 であり、 R j i = A j i = ∑ a ∂ { a j i } ∂ x a − ∑ a , b { a j b } { b a i } {\displaystyle R_{ji}=A_{ji}=\sum _{a}{\frac {\partial \left\{{{a} \atop {ji}}\right\}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a,b}\left\{{{a} \atop {jb}}\right\}\left\{{{b} \atop {ai}}\right\}} となる。
※この「∂g/∂xk = 0 のときの表示」の解説は、「リーマン曲率テンソル」の解説の一部です。
「∂g/∂xk = 0 のときの表示」を含む「リーマン曲率テンソル」の記事については、「リーマン曲率テンソル」の概要を参照ください。
- ∂g/∂xk = 0 のときの表示のページへのリンク
