基本的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 23:33 UTC 版)
本節では超実数体 ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} } の最も簡明な定義のひとつを概説する。 R {\displaystyle \mathbb {R} } を実数体、 N {\displaystyle \mathbb {N} } を自然数の成す半環とする。また、 R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} によって実数列の成す集合を表す。体 ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} } は R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} の適当な商（後述）として定義される。いま N {\displaystyle \mathbb {N} } 上の非単項超フィルター F {\displaystyle F} を取る。とくに F {\displaystyle F} はフレシェフィルターを含む。次の2つの実数列を考える u = ( u n ) , v = ( v n ) ∈ R N {\displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} このとき u {\displaystyle u} と v {\displaystyle v} が同値であるということを、それらが超フィルターに属す集合上で一致すること、あるいは同じことであるが、次の式によって定義する： { n ∈ N : u n = v n } ∈ F {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F} この同値関係による R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} の商がひとつの超実数体（a hyperreal field） ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } を与える。この状況を簡単に ∗ R = R N / F {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}} と表す。この構成は F {\displaystyle F} による R {\displaystyle \mathbb {R} } の超冪と呼ばれる。
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