単位的マグマの場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/02 17:25 UTC 版)
集合 M は二項演算 • をもつ代数系すなわちマグマで、 e は (M, •) の単位元とする。すなわち (M, •, e) は単位的マグマであるとする。M の元 a, b に対して a • b = e となるとき、a を演算 • と単位元 e に関する b の左逆元 (left inverse), b を演算 • 単位元 e に関する a の右逆元 (right inverse) という。またこのとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。M の元 x に対して、M の元 y で x の左逆元かつ右逆元であるようなものが存在するとき、つまり x • y = y • x = e が満たされるとき、y は演算 • と単位元 e に関する x の両側逆元 (two-sided inverse) あるいは単に逆元 (inverse) であるといい、x は M において可逆であるという。このとき、y も可逆であり、x は y の逆元になる。 単位的マグマ L の任意の元が可逆であるとき、L は単位的準群（ループ）であるという。 同様にして、マグマ (M, ∗) が複数の左単位元あるいは右単位元を持つとき、左逆元あるいは右逆元もそれらに応じて複数存在しうる（先の定義で用いた e は両側単位元であることに注意）。もちろん、いくつかの左または右単位元に関して左逆元かつ右逆元であるといったようなこともありうる。 代数系 (M, ∗) の演算 ∗ が結合的であるとき、M の元が左逆元と右逆元を両方とも持てばそれらは相等しく、したがってそれは逆元となる。言い換えれば、単位的半群において任意の元は高々一つ（この節にいう意味での）逆元を持つ。単位的半群における可逆元の全体は単元群と呼ばれる極大な部分群を成す。M の単元群は U(M) や H1 などと書かれる。 左可逆元は左消約的であり、右あるいは両側可逆についても同様である。
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