再帰ベイズ推定との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/12 16:55 UTC 版)
「カルマンフィルター」の記事における「再帰ベイズ推定との関係」の解説
真の状態は一次マルコフ過程であると仮定され、観測値は隠れマルコフモデルからの観測された状態である。 仮定より、ひとつ前の時刻の状態にのみ依存して p ( x k | x 0 , … , x k − 1 ) = p ( x k | x k − 1 ) . {\displaystyle p({\boldsymbol {x}}_{k}|{\boldsymbol {x}}_{0},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{k-1})=p({\boldsymbol {x}}_{k}|{\boldsymbol {x}}_{k-1}).} 同様に、時刻 k での観測値は現在の状態にだけ依存して、過去には依存しないものとする。 p ( z k | x 0 , … , x k ) = p ( z k | x k ) {\displaystyle p({\boldsymbol {z}}_{k}|{\boldsymbol {x}}_{0},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{k})=p({\boldsymbol {z}}_{k}|{\boldsymbol {x}}_{k})} これらの仮定を用いると、隠れマルコフモデルの観測が z1, z2, … {\displaystyle \ldots } zk と得られる確率は、 p ( x 0 , … , x k , z 1 , … , z k ) = p ( x 0 ) ∏ i = 1 k p ( z i | x i ) p ( x i | x i − 1 ) {\displaystyle p({\boldsymbol {x}}_{0},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {z}}_{k})=p({\boldsymbol {x}}_{0})\prod _{i=1}^{k}p({\boldsymbol {z}}_{i}|{\boldsymbol {x}}_{i})p({\boldsymbol {x}}_{i}|{\boldsymbol {x}}_{i-1})} で、表される。 一方、カルマンフィルターで状態 x を求めるには現在の系の状態とそれまでの観測だけを用いる。 カルマンフィルターの予測と更新の手続きを、確率を使って表してみる。予測後の状態の確率分布は、時刻 k − 1 から時刻 k への変化に関する確率と、時刻 (k − 1) の状態の積になるから、 p ( x k | Z k − 1 ) = ∫ p ( x k | x k − 1 ) p ( x k − 1 | Z k − 1 ) d x k − 1 {\displaystyle p({\boldsymbol {x}}_{k}|{\boldsymbol {Z}}_{k-1})=\int p({\boldsymbol {x}}_{k}|{\boldsymbol {x}}_{k-1})p({\boldsymbol {x}}_{k-1}|{\boldsymbol {Z}}_{k-1})\,d{\boldsymbol {x}}_{k-1}} 時刻 t までの観測は Z t = { z 1 , … , z t } {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}_{t}=\left\{{\boldsymbol {z}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {z}}_{t}\right\}} である。 更新後の確率は観測の起こりやすさ（尤度）と予測された状態の積に比例するから p ( x k | Z k ) = p ( z k | x k ) p ( x k | Z k − 1 ) p ( z k | Z k − 1 ) {\displaystyle p({\boldsymbol {x}}_{k}|{\boldsymbol {Z}}_{k})={\frac {p({\boldsymbol {z}}_{k}|{\boldsymbol {x}}_{k})p({\boldsymbol {x}}_{k}|{\boldsymbol {Z}}_{k-1})}{p({\boldsymbol {z}}_{k}|{\boldsymbol {Z}}_{k-1})}}} となる。分母の p ( z k | Z k − 1 ) = ∫ p ( z k | x k ) p ( x k | Z k − 1 ) d x k {\displaystyle p({\boldsymbol {z}}_{k}|{\boldsymbol {Z}}_{k-1})=\int p({\boldsymbol {z}}_{k}|{\boldsymbol {x}}_{k})p({\boldsymbol {x}}_{k}|{\boldsymbol {Z}}_{k-1})d{\boldsymbol {x}}_{k}} は、全確率を 1 にするための因子であまり重要ではない。 他の確率分布関数も p ( x k | x k − 1 ) = N ( F k x k − 1 , G k Q k G k T ) {\displaystyle p({\boldsymbol {x}}_{k}|{\boldsymbol {x}}_{k-1})=N(F_{k}{\boldsymbol {x}}_{k-1},G_{k}Q_{k}G_{k}^{\textrm {T}})} p ( z k | x k ) = N ( H k x k , R k ) {\displaystyle p({\boldsymbol {z}}_{k}|{\boldsymbol {x}}_{k})=N(H_{k}{\boldsymbol {x}}_{k},R_{k})} p ( x k − 1 | Z k − 1 ) = N ( x ^ k − 1 , P k − 1 ) {\displaystyle p({\boldsymbol {x}}_{k-1}|{\boldsymbol {Z}}_{k-1})=N({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1},P_{k-1})} と書ける。
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