円錐曲線としての双曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 02:07 UTC 版)
双曲線は、直円錐を直円錐の頂点を通らず、上下両方の直円錐に交わる平面で切断したときの、切断面の境界である。 離心率が e であるような円錐曲線を Ce とする。このとき、e ＞ 1 であれば、 Ce は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が x = -f , 焦点の一つが F(f,0) となったとする。双曲線の任意の点 P(x,y) に対し、方程式 e ( x − f ) = P F {\displaystyle e(x-f)=\mathrm {PF} } が成立するが、 P F = ( x − f ) 2 + y 2 {\displaystyle \mathrm {PF} ={\sqrt {(x-f)^{2}+y^{2}}}} となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、 x 2 + 2 ( e 2 + 1 e 2 − 1 ) f x − y 2 e 2 − 1 = − f 2 {\displaystyle x^{2}+2\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)fx-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=-f^{2}} さらに x に関して平方完成させることにより、 ( x + ( e 2 + 1 e 2 − 1 ) f ) 2 − y 2 e 2 − 1 = ( 2 e e 2 − 1 f ) 2 {\displaystyle \left(x+\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)f\right)^{2}-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=\left({\frac {2e}{e^{2}-1}}f\right)^{2}} これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに平行移動： X = x + e 2 + 1 e 2 − 1 f {\displaystyle X=x+{\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}f} , Y=y を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。
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