二面体群

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二面体群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/09/10 08:01 UTC 版)

「半直積」の記事における「二面体群」の解説

位数 2n の二面体群 D2n は位数 n の巡回的正規部分群 Cn の位数 2 の巡回群 C2 による半直積である。

二面体群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 05:55 UTC 版)

「シローの定理」の記事における「二面体群」の解説

シロー部分群とシローの定理の簡単な実例はn角形の二面体群Dnである。nが奇数の場合、2=21が位数2nを割る最大の2のベキであるため、位数2の部分群がシロー部分群である。鏡映によって生成される群がn種類存在し、幾何学的にはそれらは回転について共役である(どの対称軸も頂点と辺を通るため)。それに対して、nが偶数の場合、群の位数は4で割り切れるため、鏡映によって生成される群はシロー部分群にはならず、2種類の共役類に分解される。幾何学的にはその対称軸が2辺を通るか2頂点を通るかによってどちらの共役類に属するかが決まる。これは外部自己同型と関係しており、π/n ラジアンの回転(二面体群の最小の回転の半分)によって表現される。