主な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 18:15 UTC 版)
非負整数からなる n-次元（あるいは n-変数）の多重指数あるいは多重添字αとは非負整数全体の成す集合 N0 の n-重デカルト積 N0n の元を言う。すなわち、α1, α2, ..., αn∈N0 とすると α = ( α 1 , α 2 , … , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})} である。場合によっては整数からなる多重指数や実数からなる多重指数も必要に応じて用いられる。 多重指数を利用して数ベクトルや勾配作用素の多重指数による冪を次のように定義する。 多重冪指数 x α := x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n . {\displaystyle x^{\alpha }:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\dotsb x_{n}^{\alpha _{n}}.} ただし x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R n . {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.} 高階偏微分の階数 ∂ α := ∂ 1 α 1 ∂ 2 α 2 ⋯ ∂ n α n ( ∂ i α i = ∂ α i / ∂ x i α i ) . {\displaystyle \partial ^{\alpha }:=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\dotsb \partial _{n}^{\alpha _{n}}\quad (\partial _{i}^{\alpha _{i}}=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}).} ただし、 ∂ = ( ∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n ) = {\displaystyle \partial =(\partial _{1},\partial _{2},\ldots ,\partial _{n})=} ∇.
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