上記の条件と式による相似三角形の生成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/14 09:46 UTC 版)
「直角三角形」の記事における「上記の条件と式による相似三角形の生成」の解説
上記の限りの条件に従いながら各式からの算出値を各辺の長さに割り当てて三角形を生成することを繰り返す場合、mとnについて、その比が以前の比と異なるように設定されても生成される三角形が以前に生成された三角形と互いに相似となる場合がある。例えば、 m = 5 {\displaystyle m=5} および n = 2 {\displaystyle n=2} という設定で求め出される各式からの算出値 21 , 20 , 29 m = 7 {\displaystyle m=7} および n = 3 {\displaystyle n=3} という設定で求め出される各式からの算出値 40 , 42 , 58 をそれぞれ辺の長さとして三角形を作ると、互いに相似となる。 この例では、mとnについて、前者の設定を m = s {\displaystyle m=s} および n = t {\displaystyle n=t} と定義した場合、後者の設定が m = s + t {\displaystyle m=s+t} および n = s − t {\displaystyle n=s-t} となる関係が成り立っている（上の例では s=5 および t=2 ）。 この設定の関係から元の三角形と相似になる設定とその算出値およびその比を求めていくと m=10 , n=4 → 84 , 80 , 116 （21:20:29） m=14 , n=6 → 160, 168, 232 （20:21:29） m=20 , n=8 → 336 , 320, 464 （21:20:29） m=28 , n=12 → 640, 672, 928 （20:21:29） などがあり、この設定の関係を利用しても三辺の長さが整数で互いに相似である直角三角形を無限に求め出せることが自然に成り立つ。（各回ごとに隣辺（ここでは直角をはさむ2辺の意）の長さの比が交換され、3回目以降はmとnの和と差がそれぞれ2回前のものの2倍となっている。） 互いに相似となる三辺の長さが整数の直角三角形の生成例の図において、青の長方形の各辺の長さを整数とすれば、その長辺と短辺の和と差で辺が構成される緑の長方形の各辺の長さも整数となり、青と緑の長方形が互いに相似となることはないが、青と緑の長方形から同様の手順で生成される直角三角形（黄と赤）は互いに相似となる。
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