ユール–ウォーカー方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 01:42 UTC 版)
「自己回帰モデル」の記事における「ユール–ウォーカー方程式」の解説
ユール–ウォーカー方程式は、ウドニー・ユール（英語版）とギルバート・ウォーカーにちなんで名づけられたもので、以下の方程式からなる。 γ m = ∑ k = 1 p φ k γ m − k + σ ε 2 δ m , 0 , {\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\gamma _{m-k}+\sigma _{\varepsilon }^{2}\delta _{m,0},} ここで m = 0, ..., p であり、p + 1 個の方程式からなる。さらに γ m {\displaystyle \gamma _{m}} は Xt の自己共分散関数、 σ ε {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }} は入力ホワイトノイズの標準偏差、 δ m , 0 {\displaystyle \delta _{m,0}} はクロネッカーのデルタである。 各方程式の最後の部分がゼロとならないのは m = 0 の時に限られるので、この方程式は m > 0 の方程式を行列形式に表すことで解くことが出来る。よって次の方程式が得られる。 [ γ 1 γ 2 γ 3 ⋮ γ p ] = [ γ 0 γ − 1 γ − 2 … γ 1 γ 0 γ − 1 … γ 2 γ 1 γ 0 … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ γ p − 1 γ p − 2 γ p − 3 … ] [ φ 1 φ 2 φ 3 ⋮ φ p ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\gamma _{1}\\\gamma _{2}\\\gamma _{3}\\\vdots \\\gamma _{p}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{0}&\gamma _{-1}&\gamma _{-2}&\dots \\\gamma _{1}&\gamma _{0}&\gamma _{-1}&\dots \\\gamma _{2}&\gamma _{1}&\gamma _{0}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\gamma _{p-1}&\gamma _{p-2}&\gamma _{p-3}&\dots \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\\\vdots \\\varphi _{p}\\\end{bmatrix}}} これは全ての { φ m ; m = 1 , 2 , ⋯ , p } {\displaystyle \{\varphi _{m};m=1,2,\cdots ,p\}} について解くことが出来る。残りの m = 0 についての方程式は γ 0 = ∑ k = 1 p φ k γ − k + σ ε 2 , {\displaystyle \gamma _{0}=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\gamma _{-k}+\sigma _{\varepsilon }^{2},} となり、一度 { φ m ; m = 1 , 2 , ⋯ , p } {\displaystyle \{\varphi _{m};m=1,2,\cdots ,p\}} の値を知ってしまえば、この方程式を σ ε 2 {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}} について解くことが出来る。 他の定式化として自己相関についてのものがある。ARパラメーターは自己相関 ρ ( τ ) {\displaystyle \rho (\tau )} の最初の p + 1 個の要素で決定する。完全な自己相関関数はこの時、再帰的な計算によって導出できる。 ρ ( τ ) = ∑ k = 1 p φ k ρ ( k − τ ) {\displaystyle \rho (\tau )=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\rho (k-\tau )} 幾つかの低い次数の AR(p) 過程についての例は p=1 γ 1 = φ 1 γ 0 {\displaystyle \gamma _{1}=\varphi _{1}\gamma _{0}} ゆえに ρ 1 = γ 1 / γ 0 = φ 1 {\displaystyle \rho _{1}=\gamma _{1}/\gamma _{0}=\varphi _{1}} p=2AR(2) 過程のユール–ウォーカー方程式は γ 1 = φ 1 γ 0 + φ 2 γ − 1 {\displaystyle \gamma _{1}=\varphi _{1}\gamma _{0}+\varphi _{2}\gamma _{-1}} γ 2 = φ 1 γ 1 + φ 2 γ 0 {\displaystyle \gamma _{2}=\varphi _{1}\gamma _{1}+\varphi _{2}\gamma _{0}} γ − k = γ k {\displaystyle \gamma _{-k}=\gamma _{k}} であることを思い出せば、 第一の方程式を用いることで ρ 1 = γ 1 / γ 0 = φ 1 1 − φ 2 {\displaystyle \rho _{1}=\gamma _{1}/\gamma _{0}={\frac {\varphi _{1}}{1-\varphi _{2}}}} となり、 第二の方程式を用いることで ρ 2 = γ 2 / γ 0 = φ 1 2 − φ 2 2 + φ 2 1 − φ 2 {\displaystyle \rho _{2}=\gamma _{2}/\gamma _{0}={\frac {\varphi _{1}^{2}-\varphi _{2}^{2}+\varphi _{2}}{1-\varphi _{2}}}} となる。
※この「ユール–ウォーカー方程式」の解説は、「自己回帰モデル」の解説の一部です。
「ユール–ウォーカー方程式」を含む「自己回帰モデル」の記事については、「自己回帰モデル」の概要を参照ください。
- ユール–ウォーカー方程式のページへのリンク
