モノイドにおける冪
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/14 00:51 UTC 版)
冪演算は任意のモノイドにおいて定義できる。モノイドは単位元を持つ半群、すなわち適当な集合 X を台として合成あるいは乗法と呼ばれる二項演算が定義される代数系であって、その乗法が結合法則を満足し、かつ乗法単位元 1X を持つものを言う。モノイドにおける自然数冪は x 0 := 1 X ( ∀ x ∈ X ) , {\displaystyle x^{0}:=1_{X}\quad (\forall x\in X),} x n + 1 := x n x ( x ∈ X , n ∈ Z ≥ 0 ) {\displaystyle x^{n+1}:=x^{n}x\quad (x\in X,\,n\in \mathbb {Z} _{\geq 0})} として帰納的に定義することができる（先の式の右辺（の 1）は X の単位元、後の式の左辺の 1 は自然数の 1 で、当然だがこれらは互いに別のものである）。特に先の式（零乗すること）は「単位元を持つ」ことによって初めて意味を成す規約であることに注意すべきである（空積も参照のこと）。 モノイドの例には群や環（の乗法モノイド）のような数学的に重要な多くの構造が含まれ、またより特定の例として行列環や体の場合について後述する。
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