モノイドの生成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/09 09:54 UTC 版)
部分集合 S がモノイド M の生成系 (generator) であるとは M の任意の元が S の元だけから二項演算を繰り返して得られることをいう（生成系に属する元を生成元という）。モノイド M がその部分集合 S で生成されるとき M = ⟨S⟩ などと書く。 ⟨ S ⟩ = { s k 1 e k 1 s k 2 e k 2 ⋯ s k m e k m ∣ ∃ m ∈ N , ( k 1 , … , k m ) ∈ N m , e k j ∈ N , s k j ∈ S } . {\displaystyle \langle S\rangle =\{s_{k_{1}}^{e_{k_{1}}}s_{k_{2}}^{e_{k_{2}}}\cdots s_{k_{m}}^{e_{k_{m}}}\mid \exists m\in \mathbb {N} ,(k_{1},\ldots ,k_{m})\in \mathbb {N} ^{m},e_{k_{j}}\in \mathbb {N} ,s_{k_{j}}\in S\}.} M の各元 x に対し x0 = 1M を M の単位元とする規約を設けるならば、⟨S⟩ における S の元の冪が零となることも許し、⟨S⟩ は S を含む最小の部分モノイドを表す。 M が有限個の元からなる生成系をもつとき、有限生成 (finitely generated) あるいは有限型 (finite type) であるという。特に、M のただ一つの元 f で生成されるモノイド ⟨f⟩ は単項生成モノイドあるいは巡回モノイド (cyclic monoid) と呼び、集合としては f の冪全体の成す集合 {f0, f1, …} に一致する。
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