マッカラーの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:49 UTC 版)
「マッカラーの公式」の記事における「マッカラーの定理」の解説
このように万有引力ポテンシャルの2次までの近似 V ( P ) {\displaystyle V(P)} は、 V 0 ( P ) {\displaystyle V_{0}(P)} , V 1 ( P ) {\displaystyle V_{1}(P)} , V 2 ( P ) {\displaystyle V_{2}(P)} , V 3 ( P ) {\displaystyle V_{3}(P)} の4つの項に分解できることがわかる。つまり V ( P ) = V 0 ( P ) + V 1 ( P ) + V 2 ( P ) + V 3 ( P ) . {\displaystyle V(P)=V_{0}(P)+V_{1}(P)+V_{2}(P)+V_{3}(P).} 第1項 V 0 = G r − 1 ∫ M d M = G M r − 1 {\displaystyle V_{0}=Gr^{-1}\int _{M}\,\mathrm {d} M=GMr^{-1}} は球対称な質量分布のポテンシャルに対応する。これは物体の全質量が1点に集められている場合と同じである。減少の度合 1/r が他の項と比べ緩やかであるため、非常に遠距離ではこの項が支配的となる。これは惑星のケプラー軌道を確立するのに用いられた、古典的なニュートンポテンシャルである。単極子（monopôle）、または単極子的質量分布（distribution de masse monopolaire）と呼ばれる。 第2項 V 1 = G r − 2 ∫ M r ′ cos ψ d M {\displaystyle V_{1}=Gr^{-2}\int _{M}r'\cos \psi \,\mathrm {d} M} は双極子（dipôle）、または双極子的質量分布（distribution de masse dipolaire）に対応する。座標の原点を物体の質量中心に一致させると、この項は消える。実際、右の図を参照すると次のように書くことができる。 V 1 = G r − 2 ∫ M r ′ cos ψ d M = G r − 2 ∫ M x d M = G M r − 2 x 0 {\displaystyle V_{1}=Gr^{-2}\int _{M}r'\cos \psi \,\mathrm {d} M=Gr^{-2}\int _{M}x\,\mathrm {d} M=GMr^{-2}x_{0}} ここで x 0 {\displaystyle x_{0}} は物体の質量中心の Ox-軸成分。 第3項と第4項、 V 2 {\displaystyle V_{2}} , V 3 {\displaystyle V_{3}} は四極子（quadrupôle）、または四極子的質量分布（distribution de masse quadrupolaire）である。 V 2 {\displaystyle V_{2}} の計算を続けると V 2 = G r − 3 ∫ M r ′ 2 d M = G r − 3 ∫ M ( x 2 + y 2 + z 2 ) d M = 1 2 G r − 3 ∫ M [ ( y 2 + z 2 ) + ( x 2 + z 2 ) + ( x 2 + y 2 ) ] d M = 1 2 G r − 3 ( A + B + C ) {\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}&=Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\,\mathrm {d} M=Gr^{-3}\int _{M}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\mathrm {d} M\\&={\frac {1}{2}}Gr^{-3}\int _{M}[(y^{2}+z^{2})+(x^{2}+z^{2})+(x^{2}+y^{2})]\,\mathrm {d} M={\frac {1}{2}}Gr^{-3}(A+B+C)\end{aligned}}} となる。ここで A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} はそれぞれOx, Oy, Oz-軸のまわりの慣性モーメントを表す。慣性モーメントの平均 I ¯ {\displaystyle {\bar {I}}} を I ¯ = 1 3 ( A + B + C ) {\displaystyle {\bar {I}}={\frac {1}{3}}(A+B+C)} , とおくと、 V 2 = 3 2 G r − 3 I ¯ {\displaystyle V_{2}={\frac {3}{2}}Gr^{-3}{\bar {I}}} となる。 V 3 {\displaystyle V_{3}} に対しては、 V 3 = − 3 2 G r − 3 ∫ M r ′ 2 sin 2 ψ d M = − 3 2 G r − 3 ∫ M r ′ 2 cos 2 α d M = − 3 2 G r − 3 I {\displaystyle V_{3}=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\sin ^{2}\psi \,\mathrm {d} M=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\cos ^{2}\alpha \,\mathrm {d} M=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}I} ここで I {\displaystyle I} は O P ¯ {\displaystyle {\overline {OP}}} -軸のまわりの慣性モーメントである。これより、次のマッカラーの公式（マッカラーの定理とも）が得られる。 V ( P ) = G M r − 1 − 3 2 G r − 3 ( I − I ¯ ) {\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}(I-{\bar {I}})} この公式は、地球や他の惑星等の球状に近い物体に適用するのに非常に便利である。物体に何らかの対称性があれば、近似は十分遠距離でも有効である。明らかに、2次までの近似であることから有効な適用範囲には限界があり、外部重力場をさらに正確に表すためにはより高次の調和関数が必要になる。
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