ブラック–ショールズ方程式の解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/05 15:13 UTC 版)
「ブラック–ショールズ方程式」の記事における「ブラック–ショールズ方程式の解」の解説
同方程式において、次のように変数変換する。 C ( S t , t ) = e r ( t − T ) u ( S t , t ) , z = log ( S t K ) + ( r − σ 2 2 ) ( T − t ) σ , s = T − t {\displaystyle {\begin{aligned}&C(S_{t},t)=e^{r(t-T)}u(S_{t},t),\\&z={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma }},\\&s=T-t\end{aligned}}} これは、次のような1次元熱伝導方程式（拡散方程式）の初期値問題となる。 ∂ u ∂ s = 1 2 ⋅ ∂ 2 u ∂ z 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}} これを解いて元の変数に戻すと、ブラック–ショールズ方程式の解は次の形で与えられる。 C ( S t , t ) = S t N ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) N ( d 2 ) {\displaystyle C(S_{t},t)=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})} ただし、下記の条件においてである。 N ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − y 2 2 d y , {\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy,} d 1 = log ( S t K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) σ T − t , {\displaystyle d_{1}={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}},} d 2 = log ( S t K ) + ( r − σ 2 2 ) ( T − t ) σ T − t {\displaystyle d_{2}={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}} これが「適正価格」と呼ばれる背景としては、上述のとおり株と債券を使ってヨーロピアン・コールオプションを複製することができるという事実から来ている。もし、コールオプション価格と複製ポートフォリオの組成費用が異なれば、無限に資金を増やすことが可能になる。それは非現実的であるのでコールオプション価格と複製ポートフォリオの組成費用は、理論的には、一致しなくてはならないのである。またここでは St は株価であるとしたが、実際は株式だけに限らず、為替レートや投資信託、株価指数などの市場性のある投資商品や指標であれば全て上述の議論が成立する。
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